Номер 52.19, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.19, страница 210.

52.19 Из 20 вопросов к экзамену ученик 12 выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) Найдите количество возможных вариантов билета.

б) Сколько из них тех, в которых ученик знает ответы на все вопросы?

в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трёх типов?

г) Сколько из них тех, в которых ученик выучил большинство ответов на вопросы?

а) Для начала определим количество вопросов каждого типа. Всего 20 вопросов.
- Выучил: 12 вопросов.
- Совсем не смотрел: 5 вопросов.
- Знает частично ("остальные"): $20 - 12 - 5 = 3$ вопроса.
Экзаменационный билет состоит из 3 вопросов. Общее количество возможных вариантов билета — это число сочетаний из 20 вопросов по 3, так как порядок вопросов в билете не важен. Используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Количество возможных вариантов билета: $C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 19 \times 6 = 1140$.
Ответ: 1140

б) Условие "ученик знает ответы на все вопросы" означает, что все три вопроса в билете должны быть выбраны из тех, которые он либо выучил (12), либо знает частично (3).
Общее количество вопросов, на которые ученик "знает" ответ, составляет $12 + 3 = 15$.
Следовательно, нужно найти количество способов выбрать 3 вопроса из этих 15.
Количество таких билетов: $C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$.
Ответ: 455

в) Чтобы в билете были вопросы всех трёх типов, необходимо выбрать по одному вопросу из каждой группы:
- 1 вопрос из 12 выученных;
- 1 вопрос из 5, которые ученик не смотрел;
- 1 вопрос из 3, которые он знает частично.
Количество способов выбрать 1 из 12 выученных: $C_{12}^1 = 12$.
Количество способов выбрать 1 из 5 не просмотренных: $C_5^1 = 5$.
Количество способов выбрать 1 из 3 частично известных: $C_3^1 = 3$.
Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество таких билетов равно произведению этих чисел:
$N = C_{12}^1 \times C_5^1 \times C_3^1 = 12 \times 5 \times 3 = 180$.
Ответ: 180

г) Условие "ученик выучил большинство ответов" для билета из 3 вопросов означает, что 2 или 3 вопроса в билете должны быть из числа 12 выученных. Рассмотрим оба случая.
1. В билете 2 выученных вопроса и 1 невыученный. Невыученных вопросов $5 + 3 = 8$.
Количество способов выбрать 2 выученных вопроса из 12: $C_{12}^2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$.
Количество способов выбрать 1 невыученный вопрос из 8: $C_8^1 = 8$.
Количество билетов для этого случая: $C_{12}^2 \times C_8^1 = 66 \times 8 = 528$.
2. В билете все 3 вопроса выученные.
Количество способов выбрать 3 выученных вопроса из 12: $C_{12}^3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$.
Общее количество билетов, в которых ученик выучил большинство ответов, равно сумме вариантов из этих двух случаев:
$N = 528 + 220 = 748$.
Ответ: 748