Номер 52.16, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.16, страница 210.

52.16 Из колоды в 36 карт одновременно выбирают 5 карт. Найдите:

а) число всех возможных вариантов открытых карт;

б) число вариантов, при которых среди открытых карт есть 4 туза;

в) число вариантов, при которых все открытые карты пиковой масти;

г) число вариантов, при которых все открытые карты одной масти.

а) Для нахождения числа всех возможных вариантов выбора 5 карт из 36 необходимо использовать формулу числа сочетаний, так как порядок выбора карт не имеет значения. Формула для числа сочетаний из n по k имеет вид: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае n = 36 (общее количество карт в колоде), а k = 5 (количество выбираемых карт).

Подставляем значения в формулу:

$C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5!31!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 11 \cdot 32 = 376992$.

Ответ: 376992.

б) Чтобы среди 5 открытых карт было 4 туза, необходимо выбрать все 4 туза из 4 имеющихся в колоде и еще 1 любую карту из оставшихся.

Число способов выбрать 4 туза из 4 равно $C_4^4 = 1$.

Оставшуюся 1 карту нужно выбрать из карт, которые не являются тузами. Таких карт в колоде $36 - 4 = 32$.

Число способов выбрать 1 карту из 32 равно $C_{32}^1 = 32$.

Общее число вариантов, при которых среди 5 карт будет 4 туза, находится по правилу произведения: $C_4^4 \cdot C_{32}^1 = 1 \cdot 32 = 32$.

Ответ: 32.

в) В колоде из 36 карт 4 масти. Каждая масть содержит $36 / 4 = 9$ карт. Чтобы все 5 открытых карт были пиковой масти, необходимо выбрать 5 карт из 9 карт пиковой масти.

Используем формулу числа сочетаний, где n = 9 (карты пиковой масти), а k = 5 (выбираемые карты).

$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126$.

Ответ: 126.

г) Чтобы все 5 открытых карт были одной масти, они могут быть либо все пиковой масти, либо все трефовой, либо все бубновой, либо все червовой.

Мы уже вычислили в пункте в), что число вариантов выбрать 5 карт пиковой масти равно 126. Так как количество карт каждой масти одинаково (по 9), число вариантов для любой другой масти будет таким же.

Всего в колоде 4 масти. Поэтому общее число вариантов, при которых все 5 карт одной масти, равно произведению числа мастей на число вариантов для одной масти:

$4 \cdot C_9^5 = 4 \cdot 126 = 504$.

Ответ: 504.