Номер 52.9, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.9, страница 209.

52.9 а) $C_{27}^2 - C_{26}^2;$

б) $\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3};$

В) $\frac{A_8^6}{A_{10}^2};$

г) $C_{11}^5 - C_{11}^6.$

а) Для решения этого выражения воспользуемся свойством сочетаний, известным как тождество Паскаля: $C_n^k = C_{n-1}^k + C_{n-1}^{k-1}$. Из этого тождества следует, что $C_n^k - C_{n-1}^k = C_{n-1}^{k-1}$. В нашем случае $n=27$ и $k=2$. Подставим эти значения в формулу:$C_{27}^2 - C_{26}^2 = C_{26}^{2-1} = C_{26}^1$.Значение $C_{26}^1$ равно числу способов выбрать 1 элемент из 26, что по определению равно 26.$C_{26}^1 = \frac{26!}{1!(26-1)!} = \frac{26!}{1! \cdot 25!} = 26$.Таким образом, $C_{27}^2 - C_{26}^2 = 26$.
Ответ: 26

б) Для решения этого выражения воспользуемся формулами для числа размещений ($A_n^k$) и числа сочетаний ($C_n^k$):$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$Существует прямая связь между этими двумя величинами: $A_n^k = k! \cdot C_n^k$.Выразим из этой формулы искомое отношение:$\frac{A_n^k}{C_n^k} = k!$.В нашем случае $n=10$ и $k=3$. Подставим значение $k$ в полученную формулу:$\frac{A_{10}^3}{C_{10}^3} = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Ответ: 6

в) Для вычисления этого выражения используем формулу для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. Это также можно рассчитать как произведение $k$ последовательных целых чисел, начиная с $n$ в порядке убывания: $A_n^k = n(n-1)...(n-k+1)$.Вычислим числитель:$A_8^6 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 20160$.Вычислим знаменатель:$A_{10}^2 = 10 \times 9 = 90$.Теперь разделим числитель на знаменатель:$\frac{A_8^6}{A_{10}^2} = \frac{20160}{90} = \frac{2016}{9}$.Выполним деление: $2016 \div 9 = 224$.
Ответ: 224

г) Для решения этого выражения воспользуемся свойством симметрии для числа сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.Применим это свойство ко второму члену выражения, $C_{11}^6$, где $n=11$ и $k=6$:$C_{11}^6 = C_{11}^{11-6} = C_{11}^5$.Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:$C_{11}^5 - C_{11}^6 = C_{11}^5 - C_{11}^5 = 0$.
Ответ: 0