Номер 52.10, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.10, страница 209.

Решите уравнение:

52.10 a) $C_x^3 = 2C_x^2$;

б) $C_x^{x-2} = 15$;

в) $C_x^2 + C_{x+1}^2 = 49$;

г) $C_8^x = 70$.

Для решения данных уравнений мы будем использовать формулу числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ и $k$ — целые неотрицательные числа и $n \ge k$.

а) $C_x^3 = 2C_x^2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Для того чтобы сочетания $C_x^3$ и $C_x^2$ имели смысл, $x$ должен быть целым числом, и должны выполняться условия $x \ge 3$ и $x \ge 2$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in \mathbb{Z}, x \ge 3$.

Запишем уравнение, используя формулу для числа сочетаний:
$\frac{x!}{3!(x-3)!} = 2 \cdot \frac{x!}{2!(x-2)!}$

Распишем факториалы для упрощения:
$\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (x-3)!} = 2 \cdot \frac{x(x-1)(x-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (x-2)!}$
$\frac{x(x-1)(x-2)}{6} = x(x-1)$

Так как согласно ОДЗ $x \ge 3$, то $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $x(x-1)$:
$\frac{x-2}{6} = 1$
$x-2 = 6$
$x = 8$

Полученное значение $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 \ge 3$).

Ответ: $8$

б) $C_x^{x-2} = 15$

ОДЗ для данного уравнения: $x$ — целое число, $x \ge x-2$ (что верно для любого $x$) и $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Итак, ОДЗ: $x \in \mathbb{Z}, x \ge 2$.

Воспользуемся свойством симметрии числа сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.
$C_x^{x-2} = C_x^{x-(x-2)} = C_x^2$.

Тогда уравнение принимает вид:
$C_x^2 = 15$

Распишем по формуле:
$\frac{x(x-1)}{2} = 15$
$x(x-1) = 30$
$x^2 - x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета находим корни:
$x_1 = 6$, $x_2 = -5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$). Корень $x_1=6$ удовлетворяет условию. Корень $x_2=-5$ не удовлетворяет условию.

Ответ: $6$

в) $C_x^2 + C_{x+1}^2 = 49$

ОДЗ: для $C_x^2$ необходимо $x \in \mathbb{Z}, x \ge 2$. Для $C_{x+1}^2$ необходимо $x+1 \in \mathbb{Z}, x+1 \ge 2$, то есть $x \ge 1$. Общая ОДЗ: $x \in \mathbb{Z}, x \ge 2$.

Запишем уравнение, используя формулы:
$\frac{x(x-1)}{2} + \frac{(x+1)x}{2} = 49$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей:
$x(x-1) + x(x+1) = 98$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - x + x^2 + x = 98$
$2x^2 = 98$
$x^2 = 49$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.

Согласно ОДЗ ($x \ge 2$), корень $x_2=-7$ является посторонним. Подходит только $x_1=7$.

Ответ: $7$

г) $C_8^x = 70$

ОДЗ для данного уравнения: $x$ — целое число, $0 \le x \le 8$.

Уравнение имеет вид $\frac{8!}{x!(8-x)!} = 70$. Решать такое уравнение аналитически сложно, поэтому проверим все возможные целые значения $x$ из ОДЗ.

Вычислим значения $C_8^x$ для $x$ от 0 до 4 (для $x > 4$ значения будут симметричны благодаря свойству $C_n^k=C_n^{n-k}$):
$C_8^0 = 1$
$C_8^1 = 8$
$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$
$C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$
$C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$

Мы нашли, что при $x=4$ уравнение выполняется. Так как значения $C_8^x$ возрастают до $x=4$ и затем симметрично убывают ($C_8^5 = C_8^3 = 56$, и т.д.), то $x=4$ является единственным решением.

Ответ: $4$