Номер 52.12, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.12, страница 209.

52.12 Решите неравенство:

а) $120 < A_{k-3}^2 < 140;$

б) $C_6^2 < A_n^2 < C_8^2;$

в) $C_{10}^2 < A_x^2 < 60;$

г) $C_{19}^2 < A_x^2 + C_x^2 < 200.$

а) $120 < A_{k-3}^2 < 140$

Воспользуемся формулой числа размещений $A_n^m = n(n-1)...(n-m+1)$.
В данном случае $A_{k-3}^2 = (k-3)(k-3-1) = (k-3)(k-4)$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для $A_{k-3}^2$ определяется условиями $k-3 \ge 2$ и $k \in \mathbb{N}$, то есть $k \ge 5$ и $k$ - целое число.
Получаем двойное неравенство:
$120 < (k-3)(k-4) < 140$
Мы ищем два последовательных целых числа, произведение которых находится между 120 и 140.
Рассмотрим произведения последовательных целых чисел:
$10 \cdot 11 = 110$ (меньше 120)
$11 \cdot 12 = 132$ (удовлетворяет условию $120 < 132 < 140$)
$12 \cdot 13 = 156$ (больше 140)
Следовательно, нам подходит только один вариант:
$(k-3)(k-4) = 132$, где $k-3$ и $k-4$ - последовательные целые числа.
Из сравнения $k-4 = 11$ и $k-3 = 12$ получаем $k = 15$.
Проверим ОДЗ: $k=15$ удовлетворяет условию $k \ge 5$.
Ответ: $k=15$.

б) $C_6^2 < A_n^2 < C_8^2$

Сначала вычислим значения сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
$C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$
$C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$
Теперь используем формулу для размещений $A_n^2 = n(n-1)$.
ОДЗ: $n \ge 2$ и $n \in \mathbb{N}$.
Неравенство принимает вид:
$15 < n(n-1) < 28$
Мы ищем целое число $n$, для которого произведение $n(n-1)$ находится в интервале $(15, 28)$.
Проверим значения для $n \ge 2$:
При $n=2: 2 \cdot 1 = 2$ (не подходит)
При $n=3: 3 \cdot 2 = 6$ (не подходит)
При $n=4: 4 \cdot 3 = 12$ (не подходит)
При $n=5: 5 \cdot 4 = 20$ (удовлетворяет условию $15 < 20 < 28$)
При $n=6: 6 \cdot 5 = 30$ (не подходит)
Единственное подходящее целое значение - это $n=5$.
Ответ: $n=5$.

в) $C_{10}^2 < A_x^2 < 60$

Вычислим значение $C_{10}^2$:
$C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$
Формула для размещений $A_x^2 = x(x-1)$.
ОДЗ: $x \ge 2$ и $x \in \mathbb{N}$.
Подставляем в неравенство:
$45 < x(x-1) < 60$
Ищем целое число $x \ge 2$, для которого произведение $x(x-1)$ находится в интервале $(45, 60)$.
Проверим значения $x$:
При $x=6: 6 \cdot 5 = 30$ (не подходит)
При $x=7: 7 \cdot 6 = 42$ (не подходит)
При $x=8: 8 \cdot 7 = 56$ (удовлетворяет условию $45 < 56 < 60$)
При $x=9: 9 \cdot 8 = 72$ (не подходит)
Единственное подходящее целое значение - это $x=8$.
Ответ: $x=8$.

г) $C_{19}^2 < A_x^2 + C_x^2 < 200$

Вычислим значение $C_{19}^2$:
$C_{19}^2 = \frac{19 \cdot 18}{2 \cdot 1} = 171$
Теперь упростим выражение в середине неравенства, используя формулы $A_x^2 = x(x-1)$ и $C_x^2 = \frac{x(x-1)}{2}$.
ОДЗ: $x \ge 2$ и $x \in \mathbb{N}$.
$A_x^2 + C_x^2 = x(x-1) + \frac{x(x-1)}{2} = \frac{2x(x-1) + x(x-1)}{2} = \frac{3x(x-1)}{2}$
Подставляем в неравенство:
$171 < \frac{3x(x-1)}{2} < 200$
Умножим все части на 2:
$342 < 3x(x-1) < 400$
Разделим все части на 3:
$114 < x(x-1) < \frac{400}{3}$
$114 < x(x-1) < 133,33...$
Ищем целое число $x \ge 2$, для которого произведение $x(x-1)$ находится в интервале $(114, 133.33...)$.
Проверим произведения последовательных целых чисел:
$10 \cdot 11 = 110$ (не подходит)
$11 \cdot 12 = 132$ (удовлетворяет условию $114 < 132 < 133.33...$)
$12 \cdot 13 = 156$ (не подходит)
Следовательно, $x(x-1) = 132$, откуда $x=12$.
Проверим ОДЗ: $x=12$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.
Ответ: $x=12$.