Номер 52.14, страница 209, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.14, страница 209.

52.14 «Вороне где-то Бог послал кусочек сыра», брынзы, колбасы, сухарика и шоколада. «На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»:

а) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придётся выбирать;

б) сколькими способами можно составить «бутерброд» из двух кусочков;

в) если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать и съесть завтра и послезавтра, то из скольких вариантов придётся выбирать;

г) сколько получится, если один кусочек всё-таки бросить Лисе, а потом ответить на вопрос а)?

Для решения задачи сначала определим общее количество кусочков, которые есть у Вороны: сыр, брынза, колбаса, сухарик и шоколад. Всего 5 различных кусочков.

а) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придётся выбирать;
Эта задача сводится к нахождению числа перестановок из 5 различных элементов. Порядок, в котором Ворона ест кусочки, важен. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.
В нашем случае $n = 5$.
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
Таким образом, у Вороны есть 120 вариантов последовательности поедания кусочков.
Ответ: 120

б) сколькими способами можно составить «бутерброд» из двух кусочков;
Здесь нужно выбрать 2 кусочка из 5 имеющихся. Порядок кусочков в «бутерброде» не имеет значения (сыр с колбасой — это то же самое, что колбаса с сыром). Следовательно, мы ищем число сочетаний из 5 элементов по 2. Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
В нашем случае $n = 5$, $k = 2$.
$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
Можно составить 10 различных «бутербродов».
Ответ: 10

в) если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать и съесть завтра и послезавтра, то из скольких вариантов придётся выбирать;
Решение этой задачи состоит из двух шагов:
1. Выбрать 3 кусочка из 5, чтобы съесть сегодня. Так как они съедаются «сразу», порядок не важен. Это число сочетаний из 5 по 3: $C_5^3$.
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ способов.
2. Оставшиеся 2 кусочка нужно распределить на два дня: завтра и послезавтра. Здесь порядок важен (какой съесть завтра, а какой — послезавтра). Это число перестановок из 2 элементов: $P_2 = 2! = 2$ способа.
Общее число вариантов находится произведением числа способов на каждом шаге:
$N = C_5^3 \times P_2 = 10 \times 2 = 20$
Таким образом, у Вороны есть 20 вариантов.
Ответ: 20

г) сколько получится, если один кусочек всё-таки бросить Лисе, а потом ответить на вопрос а)?
Сначала Ворона отдает один кусочек Лисе. Поскольку у нее 5 разных кусочков, у нее есть 5 вариантов, какой именно отдать. После этого у нее остается $5 - 1 = 4$ кусочка.
Теперь нужно ответить на вопрос а) для оставшихся 4 кусочков. Вопрос а) — это нахождение числа вариантов съесть все кусочки по очереди. То есть, нам нужно найти число перестановок из 4 элементов.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
Значит, после того как один кусочек будет отдан Лисе, у Вороны останется 24 варианта съесть оставшиеся.
Ответ: 24