Номер 52.20, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.20, страница 211.

52.20 В театре 10 певцов и 8 певиц, а в хоре из премьерной оперы 5 мужских и 3 женские партии.

а) Сколько существует различных составов хора?

б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не будут петь вместе?

в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В?

г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и одной певице придётся петь мужскую партию.

а) Для того чтобы найти общее количество различных составов хора, необходимо определить, сколькими способами можно выбрать 5 певцов из 10 и 3 певицы из 8. Поскольку порядок выбора исполнителей не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Количество способов выбрать 5 певцов из 10:
$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 = 252$ способа.
Количество способов выбрать 3 певицы из 8:
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$ способов.
Общее число различных составов хора равно произведению этих двух величин:
$N = C_{10}^5 \cdot C_8^3 = 252 \cdot 56 = 14112$.
Ответ: 14112.

б) Чтобы найти количество составов, в которых певцы А и Б не поют вместе, мы можем из общего числа составов (найденного в пункте а) вычесть число составов, в которых А и Б поют вместе.
Найдем количество составов, где А и Б обязательно присутствуют:
1. Выбираем певцов А и Б. Остается выбрать еще $5 - 2 = 3$ певца из оставшихся $10 - 2 = 8$ певцов. Число способов: $C_8^3$.
$C_8^3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.
2. Выбор певиц не меняется: нужно выбрать 3 певицы из 8. Число способов: $C_8^3 = 56$.
Количество составов, где А и Б поют вместе: $N_{вместе} = C_8^3 \cdot C_8^3 = 56 \cdot 56 = 3136$.
Теперь вычтем это число из общего количества составов:
$N_{не\ вместе} = N - N_{вместе} = 14112 - 3136 = 10976$.
Ответ: 10976.

в) Условие "певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В" означает, что возможны два непересекающихся случая:
1. Певец А и певица В оба участвуют в хоре.
2. Ни певец А, ни певица В не участвуют в хоре.
Рассмотрим каждый случай:
Случай 1: А и В поют вместе.
- Нужно выбрать еще $5 - 1 = 4$ певца из оставшихся $10 - 1 = 9$ певцов: $C_9^4 = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$.
- Нужно выбрать еще $3 - 1 = 2$ певицы из оставшихся $8 - 1 = 7$ певиц: $C_7^2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.
- Количество составов в этом случае: $N_1 = C_9^4 \cdot C_7^2 = 126 \cdot 21 = 2646$.
Случай 2: Ни А, ни В не поют.
- Нужно выбрать 5 певцов из оставшихся $10 - 1 = 9$ певцов: $C_9^5 = C_9^4 = 126$.
- Нужно выбрать 3 певицы из оставшихся $8 - 1 = 7$ певиц: $C_7^3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.
- Количество составов в этом случае: $N_2 = C_9^5 \cdot C_7^3 = 126 \cdot 35 = 4410$.
Общее число составов, удовлетворяющих условию, равно сумме составов из двух случаев:
$N = N_1 + N_2 = 2646 + 4410 = 7056$.
Ответ: 7056.

г) По новым условиям, 6 певцов не могут петь, значит, в труппе осталось $10 - 6 = 4$ певца. Количество певиц прежнее — 8. В хоре по-прежнему 5 мужских и 3 женские партии. Одной певице придётся петь мужскую партию. Это означает, что для исполнения 5 мужских партий будут выбраны 4 певца и 1 певица.
Процесс формирования состава выглядит так:
1. Выбрать 4 певцов для мужских партий. Поскольку доступно всего 4 певца, их нужно взять всех. Число способов: $C_4^4 = 1$.
2. Выбрать 1 певицу из 8 для исполнения пятой мужской партии. Число способов: $C_8^1 = 8$.
3. Выбрать 3 певицы для женских партий. После того как одну певицу выбрали на мужскую партию, осталось $8 - 1 = 7$ певиц. Число способов выбрать 3 из них: $C_7^3 = \frac{7!}{3!4!} = 35$.
Общее количество составов равно произведению числа способов для каждого шага:
$N = C_4^4 \cdot C_8^1 \cdot C_7^3 = 1 \cdot 8 \cdot 35 = 280$.
Ответ: 280.