Номер 53.5, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§53. Формула бинома Ньютона. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 53.5, страница 212.

53.5 В разложении $(x + \frac{1}{x})^{10}$ по степеням переменной $x$ укажите:

а) одночлен, содержащий $x^8$;

б) одночлен, содержащий $x^4$;

в) одночлен, содержащий $x^{-2}$;

г) свободный коэффициент (одночлен, не содержащий $x$).

Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения выражения $(a+b)^n$:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

В данном случае $a = x$, $b = \frac{1}{x}$ и $n=10$. Общий член разложения $(x + \frac{1}{x})^{10}$, который мы обозначим как $T_{k+1}$, имеет вид:

$T_{k+1} = C_{10}^k x^{10-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = C_{10}^k x^{10-k} x^{-k} = C_{10}^k x^{10-2k}$

Здесь $C_{10}^k = \frac{10!}{k!(10-k)!}$ — биномиальный коэффициент, а $k$ — целое число от 0 до 10.

а) одночлен, содержащий $x^8$

Чтобы найти одночлен, содержащий $x^8$, необходимо найти такое значение $k$, при котором показатель степени $x$ равен 8. Составим и решим уравнение:

$10 - 2k = 8$

$2k = 10 - 8$

$2k = 2$

$k = 1$

Поскольку $k=1$ — допустимое значение ($0 \le 1 \le 10$), такой член существует. Найдем его коэффициент:

$C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = \frac{10!}{1!9!} = 10$.

Таким образом, искомый одночлен равен $10x^8$.

Ответ: $10x^8$.

о) одночлен, содержащий $x^4$

Найдем значение $k$, для которого показатель степени $x$ равен 4:

$10 - 2k = 4$

$2k = 10 - 4$

$2k = 6$

$k = 3$

Значение $k=3$ является допустимым. Вычислим соответствующий коэффициент:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Следовательно, искомый одночлен равен $120x^4$.

Ответ: $120x^4$.

в) одночлен, содержащий $x^{-2}$

Найдем значение $k$, для которого показатель степени $x$ равен -2:

$10 - 2k = -2$

$2k = 10 + 2$

$2k = 12$

$k = 6$

Значение $k=6$ является допустимым. Вычислим коэффициент:

$C_{10}^6 = C_{10}^{10-6} = C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$.

Следовательно, искомый одночлен равен $210x^{-2}$.

Ответ: $210x^{-2}$.

г) свободный коэффициент (одночлен, не содержащий x)

Свободный коэффициент — это член разложения, не содержащий $x$, то есть член с $x^0$. Найдем соответствующее значение $k$:

$10 - 2k = 0$

$2k = 10$

$k = 5$

Значение $k=5$ является допустимым. Вычислим коэффициент, который и является свободным членом:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 = 252$.

Таким образом, свободный коэффициент разложения равен 252.

Ответ: $252$.