Номер 53.3, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§53. Формула бинома Ньютона. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 53.3, страница 211.

53.3 Найтите коэффициент при $x^3$ у многочлена $P(x)$:

а) $P(x)=(1+3x)^4$;

б) $P(x)=(3-2x)^5$;

в) $P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4$;

г) $P(x)=(x^2-x)^4+\left(3-\frac{x}{3}\right)^4$.

а) $P(x) = (1 + 3x)^4$

Для нахождения коэффициента при $x^3$ воспользуемся формулой бинома Ньютона. Общий член разложения $(1+3x)^4$ имеет вид $C_4^k \cdot 1^{4-k} \cdot (3x)^k = C_4^k \cdot 3^k \cdot x^k$.
Чтобы найти член с $x^3$, необходимо взять $k=3$.
Коэффициент при $x^3$ равен $C_4^3 \cdot 3^3$.
Вычисляем биномиальный коэффициент: $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.
Искомый коэффициент: $4 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$.
Ответ: 108

б) $P(x) = (3 - 2x)^5$

Общий член разложения $(3-2x)^5$ по формуле бинома Ньютона имеет вид $C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot (-2x)^k = C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot (-2)^k \cdot x^k$.
Чтобы найти член с $x^3$, необходимо взять $k=3$.
Коэффициент при $x^3$ равен $C_5^3 \cdot 3^{5-3} \cdot (-2)^3$.
Вычисляем биномиальный коэффициент: $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Искомый коэффициент: $10 \cdot 3^2 \cdot (-8) = 10 \cdot 9 \cdot (-8) = -720$.
Ответ: -720

в) $P(x) = (x + 2)^5 - (2x + 1)^4$

Найдем коэффициент при $x^3$ для каждого выражения в разности отдельно.
1. Для $(x + 2)^5$ общий член равен $C_5^k \cdot x^{5-k} \cdot 2^k$. Чтобы получить $x^3$, показатель степени у $x$ должен быть равен 3, т.е. $5-k=3$, откуда $k=2$. Коэффициент при $x^3$ равен $C_5^2 \cdot 2^2 = \frac{5!}{2!3!} \cdot 4 = 10 \cdot 4 = 40$.
2. Для $(2x + 1)^4$ общий член равен $C_4^k \cdot (2x)^{4-k} \cdot 1^k = C_4^k \cdot 2^{4-k} \cdot x^{4-k}$. Чтобы получить $x^3$, нужно $4-k=3$, то есть $k=1$. Коэффициент при $x^3$ равен $C_4^1 \cdot 2^{4-1} = 4 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32$.
Итоговый коэффициент при $x^3$ в многочлене $P(x)$ равен разности найденных коэффициентов: $40 - 32 = 8$.
Ответ: 8

г) $P(x) = (x^2 - x)^4 + (3 - \frac{x}{3})^4$

Найдем коэффициент при $x^3$ для каждого слагаемого отдельно.
1. Для $(x^2 - x)^4$ вынесем $x$ за скобку: $(x(x-1))^4 = x^4(x-1)^4$. Разложение $(x-1)^4$ является многочленом, который после умножения на $x^4$ будет иметь члены со степенями $x$ не ниже 4. Следовательно, коэффициент при $x^3$ в этом выражении равен 0.
2. Для $(3 - \frac{x}{3})^4$ общий член равен $C_4^k \cdot 3^{4-k} \cdot (-\frac{x}{3})^k$. Чтобы получить $x^3$, нужно взять $k=3$. Коэффициент при $x^3$ равен $C_4^3 \cdot 3^{4-3} \cdot (-\frac{1}{3})^3 = 4 \cdot 3^1 \cdot (-\frac{1}{27}) = -\frac{12}{27} = -\frac{4}{9}$.
Итоговый коэффициент при $x^3$ в многочлене $P(x)$ равен сумме найденных коэффициентов: $0 + (-\frac{4}{9}) = -\frac{4}{9}$.
Ответ: $-\frac{4}{9}$