Номер 53.1, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§53. Формула бинома Ньютона. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 53.1, страница 211.

53.1 Раскройте скобки в выражении:

а) $(x + 1)^7$;

б) $(2x - y)^6$;

в) $(x^2 + 2)^5$;

г) $(1 - x^3)^4$.

Для раскрытия скобок в данных выражениях используется формула бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты. Эти коэффициенты можно найти с помощью треугольника Паскаля или по формуле.

а) $(x + 1)^7$

В данном случае $a = x$, $b = 1$ и $n = 7$.

Найдем биномиальные коэффициенты для $n=7$:

$C_7^0 = 1$

$C_7^1 = \frac{7!}{1!6!} = 7$

$C_7^2 = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$

$C_7^3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

Далее коэффициенты симметричны: $C_7^4 = C_7^3 = 35$, $C_7^5 = C_7^2 = 21$, $C_7^6 = C_7^1 = 7$, $C_7^7 = C_7^0 = 1$.

Подставляем значения в формулу бинома Ньютона:

$(x+1)^7 = C_7^0 x^7 \cdot 1^0 + C_7^1 x^6 \cdot 1^1 + C_7^2 x^5 \cdot 1^2 + C_7^3 x^4 \cdot 1^3 + C_7^4 x^3 \cdot 1^4 + C_7^5 x^2 \cdot 1^5 + C_7^6 x^1 \cdot 1^6 + C_7^7 x^0 \cdot 1^7$

Так как умножение на любую степень единицы не меняет значение, получаем:

$(x+1)^7 = 1 \cdot x^7 + 7 \cdot x^6 + 21 \cdot x^5 + 35 \cdot x^4 + 35 \cdot x^3 + 21 \cdot x^2 + 7 \cdot x + 1$

Ответ: $x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1$

б) $(2x - y)^6$

Здесь $a = 2x$, $b = -y$ и $n = 6$.

Биномиальные коэффициенты для $n=6$: $C_6^0=1$, $C_6^1=6$, $C_6^2=15$, $C_6^3=20$, $C_6^4=15$, $C_6^5=6$, $C_6^6=1$.

Разложим выражение по формуле, учитывая, что $b$ имеет отрицательный знак, поэтому знаки членов будут чередоваться:

$(2x - y)^6 = C_6^0 (2x)^6 (-y)^0 + C_6^1 (2x)^5 (-y)^1 + C_6^2 (2x)^4 (-y)^2 + C_6^3 (2x)^3 (-y)^3 + C_6^4 (2x)^2 (-y)^4 + C_6^5 (2x)^1 (-y)^5 + C_6^6 (2x)^0 (-y)^6$

Выполним вычисления степеней и произведений:

$= 1 \cdot (64x^6) \cdot 1 + 6 \cdot (32x^5) \cdot (-y) + 15 \cdot (16x^4) \cdot (y^2) + 20 \cdot (8x^3) \cdot (-y^3) + 15 \cdot (4x^2) \cdot (y^4) + 6 \cdot (2x) \cdot (-y^5) + 1 \cdot 1 \cdot (y^6)$

$= 64x^6 - 192x^5y + 240x^4y^2 - 160x^3y^3 + 60x^2y^4 - 12xy^5 + y^6$

Ответ: $64x^6 - 192x^5y + 240x^4y^2 - 160x^3y^3 + 60x^2y^4 - 12xy^5 + y^6$

в) $(x^2 + 2)^5$

В этом случае $a = x^2$, $b = 2$ и $n = 5$.

Биномиальные коэффициенты для $n=5$: $C_5^0=1$, $C_5^1=5$, $C_5^2=10$, $C_5^3=10$, $C_5^4=5$, $C_5^5=1$.

Раскроем скобки по формуле:

$(x^2 + 2)^5 = C_5^0 (x^2)^5 \cdot 2^0 + C_5^1 (x^2)^4 \cdot 2^1 + C_5^2 (x^2)^3 \cdot 2^2 + C_5^3 (x^2)^2 \cdot 2^3 + C_5^4 (x^2)^1 \cdot 2^4 + C_5^5 (x^2)^0 \cdot 2^5$

Упростим полученное выражение, вычисляя степени:

$= 1 \cdot x^{10} \cdot 1 + 5 \cdot x^8 \cdot 2 + 10 \cdot x^6 \cdot 4 + 10 \cdot x^4 \cdot 8 + 5 \cdot x^2 \cdot 16 + 1 \cdot 1 \cdot 32$

$= x^{10} + 10x^8 + 40x^6 + 80x^4 + 80x^2 + 32$

Ответ: $x^{10} + 10x^8 + 40x^6 + 80x^4 + 80x^2 + 32$

г) $(1 - x^3)^4$

Здесь $a = 1$, $b = -x^3$ и $n = 4$.

Биномиальные коэффициенты для $n=4$: $C_4^0=1$, $C_4^1=4$, $C_4^2=6$, $C_4^3=4$, $C_4^4=1$.

Применим формулу бинома, учитывая чередование знаков:

$(1 - x^3)^4 = C_4^0 \cdot 1^4 \cdot (-x^3)^0 + C_4^1 \cdot 1^3 \cdot (-x^3)^1 + C_4^2 \cdot 1^2 \cdot (-x^3)^2 + C_4^3 \cdot 1^1 \cdot (-x^3)^3 + C_4^4 \cdot 1^0 \cdot (-x^3)^4$

Проведем вычисления:

$= 1 \cdot 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 \cdot (-x^3) + 6 \cdot 1 \cdot (x^6) + 4 \cdot 1 \cdot (-x^9) + 1 \cdot 1 \cdot (x^{12})$

$= 1 - 4x^3 + 6x^6 - 4x^9 + x^{12}$

Ответ: $1 - 4x^3 + 6x^6 - 4x^9 + x^{12}$