Номер 54.1, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.1, страница 212.

54.1 На стойке для CD-дисков в беспорядке расположены 20 (с торца неразличимыми) дисков с компьютерными играми. Из них 12 — квесты, а остальные — аркады. Десятиклассник случайным образом выбирает два диска. Какова вероятность того, что:

а) оба они окажутся с квестами;

б) оба они — с аркадами;

в) эти диски — с играми разных типов?

г) Чему равна сумма вероятностей в пунктах а), б), в)?

Всего на стойке 20 дисков. Из них 12 — квесты, а остальные $20 - 12 = 8$ — аркады. Десятиклассник случайным образом выбирает два диска.

Для решения задачи будем использовать классическое определение вероятности $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Общее число способов выбрать 2 диска из 20 равно числу сочетаний из 20 по 2:
$N = C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$.
Это общее число исходов для всех пунктов задачи.

а) оба они окажутся с квестами;

Событие A: оба выбранных диска — квесты.
Число благоприятствующих исходов — это количество способов выбрать 2 диска с квестами из 12 имеющихся:
$M_a = C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$.
Вероятность события A:
$P(A) = \frac{M_a}{N} = \frac{66}{190} = \frac{33}{95}$.
Ответ: $\frac{33}{95}$.

б) оба они — с аркадами;

Событие Б: оба выбранных диска — аркады.
Число дисков с аркадами равно 8. Число благоприятствующих исходов — это количество способов выбрать 2 диска с аркадами из 8:
$M_б = C_{8}^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
Вероятность события Б:
$P(Б) = \frac{M_б}{N} = \frac{28}{190} = \frac{14}{95}$.
Ответ: $\frac{14}{95}$.

в) эти диски — с играми разных типов?

Событие В: выбран один диск с квестом и один с аркадой.
Число способов выбрать 1 квест из 12 равно $C_{12}^1 = 12$.
Число способов выбрать 1 аркаду из 8 равно $C_{8}^1 = 8$.
По правилу произведения в комбинаторике, число благоприятствующих исходов равно:
$M_в = C_{12}^1 \times C_{8}^1 = 12 \times 8 = 96$.
Вероятность события В:
$P(В) = \frac{M_в}{N} = \frac{96}{190} = \frac{48}{95}$.
Ответ: $\frac{48}{95}$.

г) Чему равна сумма вероятностей в пунктах а), б), в)?

Сумма вероятностей событий А, Б и В:
$P(A) + P(Б) + P(В) = \frac{33}{95} + \frac{14}{95} + \frac{48}{95} = \frac{33 + 14 + 48}{95} = \frac{95}{95} = 1$.
Сумма вероятностей равна 1, потому что события «оба диска — квесты», «оба диска — аркады» и «диски разных типов» являются несовместными и образуют полную группу событий. Это означает, что при выборе двух дисков обязательно произойдет одно и только одно из этих трех событий.
Ответ: 1.