Номер 54.4, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.4, страница 213.

54.4 Карточка лотереи «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выигрывают какие-то 6 чисел. Какова (в процентах) вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угадано ровно:

а) 0 чисел;

б) 1 число;

в) 2 числа;

г) 3 числа?

Для решения данной задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула: $P = \frac{m}{N}$.

Поскольку порядок выпадения чисел не важен, для подсчета исходов мы будем использовать формулу сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Шаг 1: Определение общего числа исходов.

Общее число исходов ($N$) — это количество всех возможных комбинаций по 6 чисел из 49. Это число сочетаний из 49 по 6.

$N = C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13,983,816$.

Таким образом, существует 13,983,816 возможных комбинаций выигрышных номеров.

Шаг 2: Определение числа благоприятных исходов.

На вашей карточке отмечено 6 чисел. Все 49 чисел можно разделить на две группы: 6 "ваших" чисел и $49 - 6 = 43$ "не ваших" числа. Чтобы угадать ровно $k$ чисел, нужно, чтобы из 6 выпавших выигрышных номеров ровно $k$ были из "ваших" и $6-k$ — из "не ваших".

Число благоприятных исходов ($m_k$) для угадывания $k$ чисел вычисляется по формуле:

$m_k = C_6^k \cdot C_{43}^{6-k}$,

где $C_6^k$ — число способов выбрать $k$ угаданных чисел из 6 отмеченных вами, а $C_{43}^{6-k}$ — число способов выбрать $6-k$ неугаданных чисел из 43 неотмеченных.

Вероятность угадать ровно $k$ чисел: $P(k) = \frac{C_6^k \cdot C_{43}^{6-k}}{C_{49}^6}$.

Теперь рассчитаем вероятности для каждого конкретного случая.

а) 0 чисел;

В этом случае $k=0$. Нам нужно, чтобы все 6 выигрышных чисел были выбраны из 43 "не ваших" чисел, и 0 чисел — из 6 "ваших".

Число благоприятных исходов: $m_0 = C_6^0 \cdot C_{43}^6$.

$C_6^0 = 1$

$C_{43}^6 = \frac{43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6,096,454$

$m_0 = 1 \cdot 6,096,454 = 6,096,454$.

Вероятность: $P(0) = \frac{6,096,454}{13,983,816} \approx 0.435965$.

В процентах: $0.435965 \cdot 100\% \approx 43.60\%$.

Ответ: $\approx 43.60\%$

б) 1 число;

Здесь $k=1$. Нам нужно, чтобы 1 выигрышное число было из 6 "ваших" и 5 — из 43 "не ваших".

Число благоприятных исходов: $m_1 = C_6^1 \cdot C_{43}^5$.

$C_6^1 = 6$

$C_{43}^5 = \frac{43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 962,598$

$m_1 = 6 \cdot 962,598 = 5,775,588$.

Вероятность: $P(1) = \frac{5,775,588}{13,983,816} \approx 0.413019$.

В процентах: $0.413019 \cdot 100\% \approx 41.30\%$.

Ответ: $\approx 41.30\%$

в) 2 числа;

Здесь $k=2$. Нам нужно, чтобы 2 выигрышных числа были из 6 "ваших" и 4 — из 43 "не ваших".

Число благоприятных исходов: $m_2 = C_6^2 \cdot C_{43}^4$.

$C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$C_{43}^4 = \frac{43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 123,410$

$m_2 = 15 \cdot 123,410 = 1,851,150$.

Вероятность: $P(2) = \frac{1,851,150}{13,983,816} \approx 0.132378$.

В процентах: $0.132378 \cdot 100\% \approx 13.24\%$.

Ответ: $\approx 13.24\%$

г) 3 числа?

Здесь $k=3$. Нам нужно, чтобы 3 выигрышных числа были из 6 "ваших" и 3 — из 43 "не ваших".

Число благоприятных исходов: $m_3 = C_6^3 \cdot C_{43}^3$.

$C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

$C_{43}^3 = \frac{43 \cdot 42 \cdot 41}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 12,341$

$m_3 = 20 \cdot 12,341 = 246,820$.

Вероятность: $P(3) = \frac{246,820}{13,983,816} \approx 0.017650$.

В процентах: $0.017650 \cdot 100\% \approx 1.77\%$.

Ответ: $\approx 1.77\%$