Номер 54.11, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. §54. Случайные события и их вероятности - номер 54.11, страница 214.

Условие.

54.11 Каждый из четырёх приятелей выучил ровно 5 вопросов из 20 заданных к зачёту. На зачёте они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что:

а) каждому достался тот вопрос, который он выучил;

б) никому не достался вопрос, который он выучил;

в) только одному из них достался тот вопрос, который он не выучил;

г) хотя бы одному из них достался тот вопрос, который он выучил.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи сначала определим вероятности основных событий для одного приятеля. Всего вопросов 20, из них 5 выучено и $20 - 5 = 15$ не выучено.

Вероятность того, что приятелю достанется вопрос, который он выучил (назовем это событием «успех»), равна $p = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

Вероятность того, что ему достанется вопрос, который он не выучил (назовем это событием «неудача»), равна $q = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$. Заметим, что $p + q = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

Так как все четыре приятеля получают вопросы независимо друг от друга, мы имеем дело с серией из $n=4$ независимых испытаний Бернулли. Вероятность наступления ровно $k$ «успехов» в $n$ испытаниях вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

а) каждому достался тот вопрос, который он выучил;

Это событие означает, что все 4 приятеля получили выученные вопросы. То есть, произошло 4 «успеха» из 4 возможных ($k=4, n=4$). Вероятность этого события можно вычислить как произведение вероятностей «успеха» для каждого из приятелей:

$P_4(4) = p^4 = (\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$.

Ответ: $\frac{1}{256}$

б) никому не достался вопрос, который он выучил;

Это событие означает, что все 4 приятеля получили невыученные вопросы. То есть, произошло 0 «успехов» из 4 ($k=0, n=4$). Вероятность этого события — произведение вероятностей «неудачи» для каждого:

$P_4(0) = q^4 = (\frac{3}{4})^4 = \frac{81}{256}$.

Ответ: $\frac{81}{256}$

в) только одному из них достался тот вопрос, который он не выучил;

Это событие означает, что ровно у одного приятеля была «неудача», а у остальных трёх — «успехи». Это соответствует $k=3$ «успехам» в $n=4$ испытаниях. Используем формулу Бернулли:

$P_4(3) = C_4^3 p^3 q^{4-3} = \frac{4!}{3!1!} \cdot (\frac{1}{4})^3 \cdot (\frac{3}{4})^1 = 4 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{256} = \frac{3}{64}$.

Ответ: $\frac{3}{64}$

г) хотя бы одному из них достался тот вопрос, который он выучил.

Событие «хотя бы одному достался выученный вопрос» является противоположным событию «никому не достался выученный вопрос». Вероятность второго мы уже вычислили в пункте б), она равна $\frac{81}{256}$.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, поэтому искомая вероятность равна:

$P(\text{хотя бы 1 успех}) = 1 - P(\text{0 успехов}) = 1 - \frac{81}{256} = \frac{256 - 81}{256} = \frac{175}{256}$.

Ответ: $\frac{175}{256}$