Номер 54.12, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.12, страница 215.

54.12 Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $x^2 \le 9$. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства:

а) $x^2 \le 10$;

б) $2x - 3 < 17$;

в) $x^2 \ge 10$;

г) $x^3 + 2x \ge 0$.

Для решения этой задачи мы будем использовать геометрическую вероятность. Сначала определим множество всех возможных исходов, а затем для каждого случая — множество благоприятных исходов. Вероятность будет равна отношению "длин" этих множеств.

Исходное условие состоит в том, что случайным образом выбирается одно из решений неравенства $x^2 \le 9$.

1. Найдём множество решений этого неравенства.$x^2 \le 9$$|x| \le 3$$-3 \le x \le 3$

Таким образом, пространство всех возможных исходов — это отрезок $A = [-3, 3]$ на числовой оси. Длина этого отрезка (мера множества) равна $L = 3 - (-3) = 6$.

Теперь для каждого подпункта найдем множество решений $B$ и пересечение этого множества с отрезком $A$. Длина этого пересечения, $l$, будет мерой благоприятных исходов. Вероятность $P$ будет вычисляться по формуле $P = \frac{l}{L}$.

а) $x^2 \le 10$

Найдём множество решений неравенства $x^2 \le 10$:$|x| \le \sqrt{10}$$-\sqrt{10} \le x \le \sqrt{10}$Множество решений $B_a = [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.Нам нужно найти пересечение $A \cap B_a = [-3, 3] \cap [-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.Поскольку $3 = \sqrt{9}$, то $3 < \sqrt{10}$ и $-3 > -\sqrt{10}$. Это означает, что отрезок $[-3, 3]$ полностью содержится внутри отрезка $[-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$.Следовательно, их пересечение — это сам отрезок $[-3, 3]$.Длина пересечения $l = 3 - (-3) = 6$.Вероятность: $P = \frac{l}{L} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: $1$

б) $2x - 3 \le 17$

Найдём множество решений неравенства $2x - 3 \le 17$:$2x \le 17 + 3$$2x \le 20$$x \le 10$Множество решений $B_б = (-\infty, 10]$.Нам нужно найти пересечение $A \cap B_б = [-3, 3] \cap (-\infty, 10]$.Все точки отрезка $[-3, 3]$ удовлетворяют условию $x \le 10$.Следовательно, их пересечение — это сам отрезок $[-3, 3]$.Длина пересечения $l = 3 - (-3) = 6$.Вероятность: $P = \frac{l}{L} = \frac{6}{6} = 1$.

Ответ: $1$

в) $x^2 \ge 10$

Найдём множество решений неравенства $x^2 \ge 10$:$|x| \ge \sqrt{10}$$x \le -\sqrt{10}$ или $x \ge \sqrt{10}$Множество решений $B_в = (-\infty, -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}, \infty)$.Нам нужно найти пересечение $A \cap B_в = [-3, 3] \cap ((-\infty, -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}, \infty))$.Так как $3 < \sqrt{10}$ и $-3 > -\sqrt{10}$, то у отрезка $[-3, 3]$ и множества $B_в$ нет общих точек.Пересечение является пустым множеством.Длина пересечения $l = 0$.Вероятность: $P = \frac{l}{L} = \frac{0}{6} = 0$.

Ответ: $0$

г) $x^3 + 2x \ge 0$

Найдём множество решений неравенства $x^3 + 2x \ge 0$:$x(x^2 + 2) \ge 0$Выражение в скобках $x^2 + 2$ всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$.Следовательно, знак всего выражения зависит только от знака $x$. Неравенство равносильно $x \ge 0$.Множество решений $B_г = [0, \infty)$.Нам нужно найти пересечение $A \cap B_г = [-3, 3] \cap [0, \infty)$.Пересечением является отрезок $[0, 3]$.Длина пересечения $l = 3 - 0 = 3$.Вероятность: $P = \frac{l}{L} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$