Номер 54.14, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.14, страница 215.

54.14 В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AB = 2$, $BC = 5$ случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена:

а) ближе к прямой $AB$, чем к прямой $CD$;

б) ближе к вершине $A$, чем к вершине $C$;

в) ближе к прямой $AB$, чем к прямой $BC$;

г) ближе к вершине $A$, чем к точке пересечения диагоналей.

Для решения задачи используется метод геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение площади области, благоприятствующей событию, к общей площади фигуры, в которой случайно выбирается точка.

Введем прямоугольную систему координат. Расположим прямоугольник $ABCD$ так, чтобы его вершины имели следующие координаты: $A(0, 0)$, $B(2, 0)$, $C(2, 5)$ и $D(0, 5)$. При таком расположении длины сторон прямоугольника соответствуют условию задачи: $AB = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$ и $BC = \sqrt{(2-2)^2 + (5-0)^2} = 5$.

Общая площадь прямоугольника, которая представляет собой пространство всех возможных исходов, равна: $S_{ABCD} = AB \cdot BC = 2 \cdot 5 = 10$.

а) ближе к прямой AB, чем к прямой CD

Пусть $M(x, y)$ — случайно выбранная точка внутри прямоугольника, ее координаты удовлетворяют условиям $0 \le x \le 2$ и $0 \le y \le 5$. Прямая $AB$ совпадает с осью абсцисс, ее уравнение $y=0$. Прямая $CD$ параллельна ей и задается уравнением $y=5$.

Расстояние от точки $M(x, y)$ до прямой $AB$ равно $d(M, AB) = y$. Расстояние от точки $M(x, y)$ до прямой $CD$ равно $d(M, CD) = 5-y$.

Условие, что точка $M$ находится ближе к прямой $AB$, чем к прямой $CD$, записывается в виде неравенства: $d(M, AB) < d(M, CD)$ $y < 5-y$ $2y < 5$ $y < 2.5$

Область, точки которой удовлетворяют этому условию, представляет собой прямоугольник, ограниченный прямыми $x=0$, $x=2$, $y=0$ и $y=2.5$. Площадь этой благоприятной области $S_а$ равна: $S_а = 2 \cdot 2.5 = 5$.

Вероятность $P_а$ того, что случайно выбранная точка попадет в эту область, равна: $P_а = \frac{S_а}{S_{ABCD}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) ближе к вершине A, чем к вершине C

Координаты вершин: $A(0, 0)$ и $C(2, 5)$. Пусть $M(x, y)$ — случайная точка. Квадрат расстояния от точки $M$ до вершины $A$: $d^2(M, A) = x^2 + y^2$. Квадрат расстояния от точки $M$ до вершины $C$: $d^2(M, C) = (x-2)^2 + (y-5)^2$.

Условие $d(M, A) < d(M, C)$ эквивалентно $d^2(M, A) < d^2(M, C)$: $x^2 + y^2 < (x-2)^2 + (y-5)^2$ $x^2 + y^2 < x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25$ $0 < -4x - 10y + 29$ $4x + 10y < 29$

Множество точек, равноудаленных от $A$ и $C$, образует серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Этот перпендикуляр проходит через середину отрезка $AC$, точка которой $O_{AC}(\frac{0+2}{2}, \frac{0+5}{2}) = (1, 2.5)$ является центром симметрии прямоугольника. Любая прямая, проходящая через центр симметрии прямоугольника, делит его площадь на две равные части.

Следовательно, площадь благоприятной области $S_б$ составляет половину площади всего прямоугольника: $S_б = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$.

Вероятность $P_б$ равна: $P_б = \frac{S_б}{S_{ABCD}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) ближе к прямой AB, чем к прямой BC

Прямая $AB$ задается уравнением $y=0$, а прямая $BC$ — уравнением $x=2$. Пусть $M(x, y)$ — случайная точка. Расстояние от $M$ до прямой $AB$: $d(M, AB) = y$. Расстояние от $M$ до прямой $BC$: $d(M, BC) = 2-x$.

Условие $d(M, AB) < d(M, BC)$ приводит к неравенству: $y < 2-x$ $x+y < 2$

Благоприятная область — это часть прямоугольника, где $x \ge 0$, $y \ge 0$ и $x+y < 2$. Эта область является прямоугольным треугольником с вершинами в точках $(0, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 2)$. Длины катетов этого треугольника равны 2.

Площадь благоприятной области $S_в$ равна: $S_в = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.

Вероятность $P_в$ равна: $P_в = \frac{S_в}{S_{ABCD}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

г) ближе к вершине A, чем к точке пересечения диагоналей

Точка пересечения диагоналей $O$ является центром прямоугольника. Найдем ее координаты как середину диагонали $AC$: $O\left(\frac{0+2}{2}, \frac{0+5}{2}\right) = O(1, 2.5)$. Вершина $A$ имеет координаты $(0, 0)$.

Пусть $M(x, y)$ — случайная точка. Условие $d(M, A) < d(M, O)$ эквивалентно $d^2(M, A) < d^2(M, O)$: $x^2 + y^2 < (x-1)^2 + (y-2.5)^2$ $x^2 + y^2 < x^2 - 2x + 1 + y^2 - 5y + 6.25$ $0 < -2x - 5y + 7.25$ $2x + 5y < 7.25$

Благоприятная область — это часть прямоугольника, в которой выполняется данное неравенство. Границей области является прямая $2x + 5y = 7.25$. Найдем точки пересечения этой прямой со сторонами прямоугольника:

• При $x=0$ (сторона $AD$): $5y = 7.25 \implies y = 1.45$. Точка $(0, 1.45)$.
• При $x=2$ (сторона $BC$): $2(2) + 5y = 7.25 \implies 5y = 3.25 \implies y = 0.65$. Точка $(2, 0.65)$.

Таким образом, благоприятная область представляет собой трапецию с вершинами в точках $(0, 0)$, $(2, 0)$, $(2, 0.65)$ и $(0, 1.45)$. Параллельные стороны этой трапеции лежат на прямых $x=0$ и $x=2$, их длины равны $1.45$ и $0.65$. Высота трапеции равна $2$.

Площадь благоприятной области $S_г$ равна: $S_г = \frac{1.45 + 0.65}{2} \cdot 2 = 2.1$.

Вероятность $P_г$ равна: $P_г = \frac{S_г}{S_{ABCD}} = \frac{2.1}{10} = 0.21$.

Ответ: $0.21$