Номер 54.13, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.13, страница 215.
№54.13 (с. 215)
Условие. №54.13 (с. 215)
скриншот условия

54.13 Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $1 \le |x - 3| \le 5$. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства:
а) $|x| \le 2$;
б) $|x - 6| \le 2$;
в) $|x| \le 1$;
г) $1 \le |x - 6| \le 2$.
Решение 1. №54.13 (с. 215)

Решение 2. №54.13 (с. 215)



Решение 5. №54.13 (с. 215)




Решение 6. №54.13 (с. 215)
Для начала решим исходное неравенство $1 \le |x - 3| \le 5$, чтобы найти множество всех возможных решений (пространство элементарных исходов).
Данное двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:
$\begin{cases} |x - 3| \ge 1 \\ |x - 3| \le 5 \end{cases}$
Решим первое неравенство $|x - 3| \ge 1$. Оно распадается на совокупность двух неравенств:
$x - 3 \ge 1$ или $x - 3 \le -1$
$x \ge 4$ или $x \le 2$
Решением является объединение промежутков: $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.
Решим второе неравенство $|x - 3| \le 5$. Оно равносильно двойному неравенству:
$-5 \le x - 3 \le 5$
Прибавим 3 ко всем частям:
$-2 \le x \le 8$
Решением является отрезок: $x \in [-2, 8]$.
Теперь найдем пересечение решений этих двух неравенств. Обозначим итоговое множество решений как $M$.
$M = ((-\infty, 2] \cup [4, \infty)) \cap [-2, 8] = [-2, 2] \cup [4, 8]$.
Это множество является пространством элементарных исходов. В задачах с геометрической вероятностью мерой такого пространства является его длина. Найдем суммарную длину отрезков, составляющих множество $M$.
Длина отрезка $[-2, 2]$ равна $L_1 = 2 - (-2) = 4$.
Длина отрезка $[4, 8]$ равна $L_2 = 8 - 4 = 4$.
Общая длина множества $M$ равна $L(M) = L_1 + L_2 = 4 + 4 = 8$.
Вероятность события A находится как отношение длины множества благоприятных исходов к общей длине множества всех исходов: $P(A) = \frac{L(\text{благоприятные исходы})}{L(M)}$.
а) Найдем вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $|x| \le 2$.
Решим неравенство $|x| \le 2$. Оно равносильно $-2 \le x \le 2$. Множество решений: $A = [-2, 2]$.
Теперь найдем пересечение множества $A$ с множеством $M$. Это будет множество благоприятных исходов.
$A \cap M = [-2, 2] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [-2, 2]$.
Длина этого множества равна $L(A \cap M) = 2 - (-2) = 4$.
Вероятность равна $P_a = \frac{L(A \cap M)}{L(M)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.
б) Найдем вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $|x - 6| \le 2$.
Решим неравенство $|x - 6| \le 2$. Оно равносильно $-2 \le x - 6 \le 2$.
Прибавив 6 ко всем частям, получаем $4 \le x \le 8$. Множество решений: $B = [4, 8]$.
Найдем пересечение множества $B$ с множеством $M$.
$B \cap M = [4, 8] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [4, 8]$.
Длина этого множества равна $L(B \cap M) = 8 - 4 = 4$.
Вероятность равна $P_b = \frac{L(B \cap M)}{L(M)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.
в) Найдем вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $|x| \le 1$.
Решим неравенство $|x| \le 1$. Оно равносильно $-1 \le x \le 1$. Множество решений: $C = [-1, 1]$.
Найдем пересечение множества $C$ с множеством $M$.
$C \cap M = [-1, 1] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [-1, 1]$.
Длина этого множества равна $L(C \cap M) = 1 - (-1) = 2$.
Вероятность равна $P_c = \frac{L(C \cap M)}{L(M)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.
г) Найдем вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $1 \le |x - 6| \le 2$.
Решим неравенство $1 \le |x - 6| \le 2$. Оно равносильно системе:
$\begin{cases} |x - 6| \ge 1 \\ |x - 6| \le 2 \end{cases}$
Решение второго неравенства мы уже нашли в пункте б): $x \in [4, 8]$.
Решим первое неравенство $|x - 6| \ge 1$:
$x - 6 \ge 1$ или $x - 6 \le -1$
$x \ge 7$ или $x \le 5$
Решением является $x \in (-\infty, 5] \cup [7, \infty)$.
Найдем решение системы, пересекая полученные множества: $D = ([-\infty, 5] \cup [7, \infty)) \cap [4, 8] = [4, 5] \cup [7, 8]$.
Теперь найдем пересечение множества $D$ с множеством $M$.
$D \cap M = ([4, 5] \cup [7, 8]) \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [4, 5] \cup [7, 8]$.
Длина этого множества равна сумме длин отрезков: $L(D \cap M) = (5 - 4) + (8 - 7) = 1 + 1 = 2$.
Вероятность равна $P_d = \frac{L(D \cap M)}{L(M)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 54.13 расположенного на странице 215 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №54.13 (с. 215), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.