Номер 54.13, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. §54. Случайные события и их вероятности - номер 54.13, страница 215.

Условие.

54.13 Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $1 \le |x - 3| \le 5$. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства:

а) $|x| \le 2$;

б) $|x - 6| \le 2$;

в) $|x| \le 1$;

г) $1 \le |x - 6| \le 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Для начала решим исходное неравенство $1 \le |x - 3| \le 5$, чтобы найти множество всех возможных решений (пространство элементарных исходов).

Данное двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} |x - 3| \ge 1 \\ |x - 3| \le 5 \end{cases}$

Решим первое неравенство $|x - 3| \ge 1$. Оно распадается на совокупность двух неравенств:

$x - 3 \ge 1$ или $x - 3 \le -1$

$x \ge 4$ или $x \le 2$

Решением является объединение промежутков: $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

Решим второе неравенство $|x - 3| \le 5$. Оно равносильно двойному неравенству:

$-5 \le x - 3 \le 5$

Прибавим 3 ко всем частям:

$-2 \le x \le 8$

Решением является отрезок: $x \in [-2, 8]$.

Теперь найдем пересечение решений этих двух неравенств. Обозначим итоговое множество решений как $M$.

$M = ((-\infty, 2] \cup [4, \infty)) \cap [-2, 8] = [-2, 2] \cup [4, 8]$.

Это множество является пространством элементарных исходов. В задачах с геометрической вероятностью мерой такого пространства является его длина. Найдем суммарную длину отрезков, составляющих множество $M$.

Длина отрезка $[-2, 2]$ равна $L_1 = 2 - (-2) = 4$.

Длина отрезка $[4, 8]$ равна $L_2 = 8 - 4 = 4$.

Общая длина множества $M$ равна $L(M) = L_1 + L_2 = 4 + 4 = 8$.

Вероятность события A находится как отношение длины множества благоприятных исходов к общей длине множества всех исходов: $P(A) = \frac{L(\text{благоприятные исходы})}{L(M)}$.

---

а) Найдем вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $|x| \le 2$.

Решим неравенство $|x| \le 2$. Оно равносильно $-2 \le x \le 2$. Множество решений: $A = [-2, 2]$.

Теперь найдем пересечение множества $A$ с множеством $M$. Это будет множество благоприятных исходов.

$A \cap M = [-2, 2] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [-2, 2]$.

Длина этого множества равна $L(A \cap M) = 2 - (-2) = 4$.

Вероятность равна $P_a = \frac{L(A \cap M)}{L(M)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

---

б) Найдем вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $|x - 6| \le 2$.

Решим неравенство $|x - 6| \le 2$. Оно равносильно $-2 \le x - 6 \le 2$.

Прибавив 6 ко всем частям, получаем $4 \le x \le 8$. Множество решений: $B = [4, 8]$.

Найдем пересечение множества $B$ с множеством $M$.

$B \cap M = [4, 8] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [4, 8]$.

Длина этого множества равна $L(B \cap M) = 8 - 4 = 4$.

Вероятность равна $P_b = \frac{L(B \cap M)}{L(M)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

---

в) Найдем вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $|x| \le 1$.

Решим неравенство $|x| \le 1$. Оно равносильно $-1 \le x \le 1$. Множество решений: $C = [-1, 1]$.

Найдем пересечение множества $C$ с множеством $M$.

$C \cap M = [-1, 1] \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [-1, 1]$.

Длина этого множества равна $L(C \cap M) = 1 - (-1) = 2$.

Вероятность равна $P_c = \frac{L(C \cap M)}{L(M)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

---

г) Найдем вероятность того, что выбранное число является решением неравенства $1 \le |x - 6| \le 2$.

Решим неравенство $1 \le |x - 6| \le 2$. Оно равносильно системе:

$\begin{cases} |x - 6| \ge 1 \\ |x - 6| \le 2 \end{cases}$

Решение второго неравенства мы уже нашли в пункте б): $x \in [4, 8]$.

Решим первое неравенство $|x - 6| \ge 1$:

$x - 6 \ge 1$ или $x - 6 \le -1$

$x \ge 7$ или $x \le 5$

Решением является $x \in (-\infty, 5] \cup [7, \infty)$.

Найдем решение системы, пересекая полученные множества: $D = ([-\infty, 5] \cup [7, \infty)) \cap [4, 8] = [4, 5] \cup [7, 8]$.

Теперь найдем пересечение множества $D$ с множеством $M$.

$D \cap M = ([4, 5] \cup [7, 8]) \cap ([-2, 2] \cup [4, 8]) = [4, 5] \cup [7, 8]$.

Длина этого множества равна сумме длин отрезков: $L(D \cap M) = (5 - 4) + (8 - 7) = 1 + 1 = 2$.

Вероятность равна $P_d = \frac{L(D \cap M)}{L(M)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.