Номер 53.2, страница 211, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§53. Формула бинома Ньютона. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 53.2, страница 211.

53.2 Найдите коэффициент при первой степени переменной $x$ у многочлена $P(x)$:

а) $P(x) = (1 + x)^7$;

б) $P(x) = (1 + 3x)^4$;

в) $P(x) = (3 - 2x)^5$;

г) $P(x) = (x + 2)^5 - (2x + 1)^4$.

Для нахождения коэффициента при первой степени переменной $x$ воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - биномиальный коэффициент. Нам необходимо найти член разложения, в котором переменная $x$ находится в первой степени.

а) Для многочлена $P(x) = (1 + x)^7$ имеем: $a=1$, $b=x$, $n=7$.

Общий член разложения имеет вид $T_{k+1} = C_7^k \cdot 1^{7-k} \cdot x^k = C_7^k x^k$.

Член с $x$ в первой степени соответствует значению $k=1$.

Коэффициент при $x^1$ равен $C_7^1$.

Вычисляем биномиальный коэффициент: $C_7^1 = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1!6!} = 7$.

Ответ: 7

б) Для многочлена $P(x) = (1 + 3x)^4$ имеем: $a=1$, $b=3x$, $n=4$.

Общий член разложения имеет вид $T_{k+1} = C_4^k \cdot 1^{4-k} \cdot (3x)^k = C_4^k \cdot 3^k \cdot x^k$.

Член с $x$ в первой степени соответствует значению $k=1$.

Коэффициент при $x^1$ равен $C_4^1 \cdot 3^1$.

Вычисляем $C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.

Искомый коэффициент равен $4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

в) Для многочлена $P(x) = (3 - 2x)^5$ имеем: $a=3$, $b=-2x$, $n=5$.

Общий член разложения имеет вид $T_{k+1} = C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot (-2x)^k = C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot (-2)^k \cdot x^k$.

Член с $x$ в первой степени соответствует значению $k=1$.

Коэффициент при $x^1$ равен $C_5^1 \cdot 3^{5-1} \cdot (-2)^1$.

Вычисляем $C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5$.

Искомый коэффициент равен $5 \cdot 3^4 \cdot (-2) = 5 \cdot 81 \cdot (-2) = -810$.

Ответ: -810

г) Многочлен $P(x) = (x + 2)^5 - (2x + 1)^4$ является разностью двух многочленов. Коэффициент при $x$ в $P(x)$ равен разности коэффициентов при $x$ в $(x + 2)^5$ и $(2x + 1)^4$.

1. Найдем коэффициент при $x$ в разложении $(x + 2)^5$. Для удобства запишем как $(2+x)^5$. Здесь $a=2$, $b=x$, $n=5$.

Член с $x^1$ (при $k=1$) равен $C_5^1 \cdot 2^{5-1} \cdot x^1$.

Коэффициент равен $C_5^1 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80$.

2. Найдем коэффициент при $x$ в разложении $(2x + 1)^4$. Запишем как $(1+2x)^4$. Здесь $a=1$, $b=2x$, $n=4$.

Член с $x^1$ (при $k=1$) равен $C_4^1 \cdot 1^{4-1} \cdot (2x)^1$.

Коэффициент равен $C_4^1 \cdot 2^1 = 4 \cdot 2 = 8$.

3. Искомый коэффициент равен разности найденных коэффициентов: $80 - 8 = 72$.

Ответ: 72