Номер 52.5, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.5, страница 208.

52.5 Сколькими нулями оканчивается число:

а) $10!$;

б) $15!$;

в) $26!$;

г) $100!$?

Количество нулей на конце числа $n!$ (n-факториал) равно количеству множителей 10 в его разложении на простые множители. Так как $10 = 2 \times 5$, а множителей 2 в разложении $n!$ всегда больше, чем множителей 5, то количество нулей определяется исключительно количеством множителей 5.

Для подсчета количества множителей 5 в разложении $n!$ используется формула Лежандра: $$ N = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{5^k} \rfloor = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \lfloor \frac{n}{125} \rfloor + \dots $$ где $\lfloor x \rfloor$ — это целая часть числа $x$.

а) 10!

Для $n=10$ найдем количество множителей 5. $$ N = \lfloor \frac{10}{5} \rfloor + \lfloor \frac{10}{25} \rfloor + \dots = 2 + 0 = 2 $$ Это означает, что в разложении $10!$ на простые множители есть две пятерки (от чисел 5 и 10). Следовательно, число $10!$ оканчивается двумя нулями.

Ответ: 2

б) 15!

Для $n=15$ найдем количество множителей 5. $$ N = \lfloor \frac{15}{5} \rfloor + \lfloor \frac{15}{25} \rfloor + \dots = 3 + 0 = 3 $$ В разложении $15!$ есть три пятерки (от чисел 5, 10, 15). Следовательно, число $15!$ оканчивается тремя нулями.

Ответ: 3

в) 26!

Для $n=26$ найдем количество множителей 5. $$ N = \lfloor \frac{26}{5} \rfloor + \lfloor \frac{26}{25} \rfloor + \lfloor \frac{26}{125} \rfloor + \dots = 5 + 1 + 0 = 6 $$ В разложении $26!$ есть шесть пятерок: по одной от чисел 5, 10, 15, 20 и две от числа 25 (поскольку $25=5^2$). Итого $4+2=6$. Следовательно, число $26!$ оканчивается шестью нулями.

Ответ: 6

г) 100!

Для $n=100$ найдем количество множителей 5. $$ N = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{25} \rfloor + \lfloor \frac{100}{125} \rfloor + \dots = 20 + 4 + 0 = 24 $$ Первый член $\lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$ дает количество чисел, кратных 5. Второй член $\lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 4$ добавляет еще по одной пятерке для чисел, кратных 25 (это числа 25, 50, 75, 100). Следовательно, число $100!$ оканчивается 24 нулями.

Ответ: 24