Номер 52.3, страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§52. Сочетания и размещения. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 52.3, страница 208.

52.3 Вычислите:

a) $\frac{7! + 8!}{5! + 6!}$;

б) $\frac{1}{4!} + \frac{10}{5!} + \frac{630}{6!}$;

В) $\frac{1}{6!} + \frac{1}{5!} - \frac{49}{7!}$;

Г) $\frac{7}{11} \cdot \frac{(10!)^2 - (9!)^2}{(8!)^2 - (7!)^2}$.

а) Вычислим значение выражения $ \frac{7! + 8!}{5! + 6!} $. Воспользуемся свойством факториала $ n! = n \cdot (n-1)! $. Преобразуем числитель, вынеся за скобки $ 7! $: $ 7! + 8! = 7! + 8 \cdot 7! = 7! \cdot (1 + 8) = 9 \cdot 7! $ Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки $ 5! $: $ 5! + 6! = 5! + 6 \cdot 5! = 5! \cdot (1 + 6) = 7 \cdot 5! $ Подставим полученные выражения в дробь: $ \frac{9 \cdot 7!}{7 \cdot 5!} $ Теперь сократим факториалы: $ \frac{9 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{7 \cdot 5!} = 9 \cdot 6 = 54 $
Ответ: 54

б) Вычислим значение выражения $ \frac{1}{4!} + \frac{10}{5!} + \frac{630}{6!} $. Приведем все дроби к общему знаменателю $ 6! $. Напомним, что $ 5! = 5 \cdot 4! $ и $ 6! = 6 \cdot 5! = 6 \cdot 5 \cdot 4! = 30 \cdot 4! $. $ \frac{1}{4!} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 6}{6!} = \frac{30}{6!} $ $ \frac{10}{5!} = \frac{10 \cdot 6}{6!} = \frac{60}{6!} $ Теперь сложим дроби: $ \frac{30}{6!} + \frac{60}{6!} + \frac{630}{6!} = \frac{30 + 60 + 630}{6!} = \frac{720}{6!} $ Так как $ 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720 $, то: $ \frac{720}{720} = 1 $
Ответ: 1

в) Вычислим значение выражения $ \frac{1}{6!} + \frac{1}{5!} - \frac{49}{7!} $. Приведем все дроби к общему знаменателю $ 7! $. $ 7! = 7 \cdot 6! $ и $ 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5! = 42 \cdot 5! $. $ \frac{1}{6!} = \frac{7}{7 \cdot 6!} = \frac{7}{7!} $ $ \frac{1}{5!} = \frac{7 \cdot 6}{7 \cdot 6 \cdot 5!} = \frac{42}{7!} $ Подставим полученные дроби в выражение: $ \frac{7}{7!} + \frac{42}{7!} - \frac{49}{7!} = \frac{7 + 42 - 49}{7!} = \frac{49 - 49}{7!} = \frac{0}{7!} = 0 $
Ответ: 0

г) Вычислим значение выражения $ \frac{7}{11} \cdot \frac{(10!)^2 - (9!)^2}{(8!)^2 - (7!)^2} $. Используем формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ для числителя и знаменателя дроби. Числитель: $ (10!)^2 - (9!)^2 = (10! - 9!)(10! + 9!) $. $ 10! - 9! = (10 \cdot 9!) - 9! = 9!(10 - 1) = 9 \cdot 9! $ $ 10! + 9! = (10 \cdot 9!) + 9! = 9!(10 + 1) = 11 \cdot 9! $ Произведение: $ (9 \cdot 9!) \cdot (11 \cdot 9!) = 99 \cdot (9!)^2 $. Знаменатель: $ (8!)^2 - (7!)^2 = (8! - 7!)(8! + 7!) $. $ 8! - 7! = (8 \cdot 7!) - 7! = 7!(8 - 1) = 7 \cdot 7! $ $ 8! + 7! = (8 \cdot 7!) + 7! = 7!(8 + 1) = 9 \cdot 7! $ Произведение: $ (7 \cdot 7!) \cdot (9 \cdot 7!) = 63 \cdot (7!)^2 $. Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение: $ \frac{7}{11} \cdot \frac{99 \cdot (9!)^2}{63 \cdot (7!)^2} $ Перегруппируем множители: $ \frac{7 \cdot 99}{11 \cdot 63} \cdot \frac{(9!)^2}{(7!)^2} = \frac{7 \cdot (9 \cdot 11)}{11 \cdot (9 \cdot 7)} \cdot \left(\frac{9!}{7!}\right)^2 $ Коэффициенты сокращаются: $ \frac{693}{693} = 1 $. Вычислим отношение факториалов: $ \frac{9!}{7!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 9 \cdot 8 = 72 $ Таким образом, выражение упрощается до: $ 1 \cdot (72)^2 = 5184 $
Ответ: 5184