Номер 54.23, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.23, страница 217.

54.23 Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $ \sqrt{x} \le 10 $. Найдите вероятность того, что оно:

а) является решением неравенства $ \sqrt{x} \le 1 $;

б) принадлежит области определения функции

$ y = \ln(40x - 39 - x^2) $;

в) является решением неравенства $ \sqrt{x - 10} \le 5 $;

г) принадлежит области значений функции

$ y = 0,5 \sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) + 1. $

Сначала найдем множество всех решений исходного неравенства $\sqrt{x} \le 10$. Это будет наше пространство элементарных исходов. Область допустимых значений для этого неравенства: $x \ge 0$. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 \le 10^2$

$x \le 100$

С учетом области допустимых значений, множество решений $S$ представляет собой отрезок $[0, 100]$. В задачах на геометрическую вероятность, вероятность события равна отношению меры (в данном случае, длины) множества благоприятных исходов к мере всего пространства исходов. Длина отрезка $[0, 100]$ равна $100 - 0 = 100$. Это и есть мера всего пространства исходов.

а) является решением неравенства $\sqrt{x} \le 1$

Найдем множество решений $A$ для неравенства $\sqrt{x} \le 1$. Область допустимых значений: $x \ge 0$. Возведем обе части в квадрат: $x \le 1^2$, то есть $x \le 1$. Таким образом, множество решений $A$ есть отрезок $[0, 1]$. Все решения из этого множества также принадлежат исходному множеству $[0, 100]$. Следовательно, множество благоприятных исходов совпадает с $A$ и равно $[0, 1]$. Длина этого отрезка равна $1 - 0 = 1$. Вероятность $P(A)$ равна отношению длины отрезка благоприятных исходов к длине отрезка всех исходов:

$P(A) = \frac{1}{100} = 0,01$.

Ответ: $0,01$.

б) принадлежит области определения функции $y = \ln(40x - 39 - x^2)$

Найдем область определения $B$ данной функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$40x - 39 - x^2 > 0$

Умножим на -1 и поменяем знак неравенства:

$x^2 - 40x + 39 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 40x + 39 = 0$. По теореме Виета, корни равны $1$ и $39$. Поскольку ветви параболы $f(x) = x^2 - 40x + 39$ направлены вверх, неравенство $f(x) < 0$ выполняется между корнями. Таким образом, область определения $B$ есть интервал $(1, 39)$. Нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранное число из отрезка $[0, 100]$ попадет в интервал $(1, 39)$. Множество благоприятных исходов — это пересечение $[0, 100] \cap (1, 39)$, что равно $(1, 39)$. Длина этого интервала равна $39 - 1 = 38$. Вероятность $P(B)$ равна:

$P(B) = \frac{38}{100} = 0,38$.

Ответ: $0,38$.

в) является решением неравенства $\sqrt{x - 10} \le 5$

Найдем множество решений $C$ для этого неравенства. Область допустимых значений: $x - 10 \ge 0$, то есть $x \ge 10$. Возведем обе части неравенства в квадрат:

$x - 10 \le 5^2$

$x - 10 \le 25$

$x \le 35$

С учетом ОДЗ, множество решений $C$ есть отрезок $[10, 35]$. Множество благоприятных исходов — это пересечение $[0, 100] \cap [10, 35]$, что равно $[10, 35]$. Длина этого отрезка равна $35 - 10 = 25$. Вероятность $P(C)$ равна:

$P(C) = \frac{25}{100} = 0,25$.

Ответ: $0,25$.

г) принадлежит области значений функции $y = 0,5\sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) + 1$

Найдем область значений $D$ данной функции. Область значений синуса — это отрезок $[-1, 1]$:

$-1 \le \sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) \le 1$

Умножим все части на $0,5$:

$-0,5 \le 0,5\sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) \le 0,5$

Прибавим ко всем частям $1$:

$-0,5 + 1 \le 0,5\sin\left(2x + \frac{3\pi}{2}\right) + 1 \le 0,5 + 1$

$0,5 \le y \le 1,5$

Таким образом, область значений функции $D$ есть отрезок $[0,5; 1,5]$. Событие состоит в том, что случайно выбранное число $x$ из отрезка $[0, 100]$ принадлежит отрезку $[0,5; 1,5]$. Множество благоприятных исходов — это пересечение $[0, 100] \cap [0,5; 1,5]$, что равно $[0,5; 1,5]$. Длина этого отрезка равна $1,5 - 0,5 = 1$. Вероятность $P(D)$ равна:

$P(D) = \frac{1}{100} = 0,01$.

Ответ: $0,01$.