Номер 55.1, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§55. Равносильность уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 55.1, страница 218.

55.1 Равносильно ли уравнение $2^x = 256$ уравнению:

a) $\log_2 x = 3$;

б) $x^2 - 9x + 8 = 0$;

в) $3x^2 - 24x = 0$;

г) $\frac{16}{x} = 2?$;

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений (корней) полностью совпадают. Сначала найдем корень исходного уравнения $2^x = 256$.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2: $256 = 2^8$.

Тогда уравнение принимает вид: $2^x = 2^8$.

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $x = 8$.

Таким образом, множество решений исходного уравнения — это $\{8\}$. Теперь необходимо проверить, имеют ли предложенные уравнения такое же множество решений.

а) $\log_2 x = 3$

Для решения этого логарифмического уравнения воспользуемся определением логарифма: $x$ равен основанию $2$, возведенному в степень $3$.

$x = 2^3$

$x = 8$

Множество решений этого уравнения — $\{8\}$. Оно совпадает с множеством решений исходного уравнения, значит, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильно.

б) $x^2 - 9x + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Его можно решить, например, по теореме Виета.

Сумма корней $x_1 + x_2 = -(-9) = 9$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 8$.

Подбором находим, что корнями являются числа $1$ и $8$.

Множество решений этого уравнения — $\{1, 8\}$. Поскольку оно содержит корень $x=1$, который отсутствует в решении исходного уравнения, эти уравнения не являются равносильными.

Ответ: нет, не равносильно.

в) $3x^2 - 24x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $3x$ за скобку:

$3x(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

$3x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 8 = 0 \implies x_2 = 8$

Множество решений этого уравнения — $\{0, 8\}$. Оно не совпадает с множеством решений исходного уравнения $\{8\}$, так как содержит посторонний корень $x=0$. Уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильно.

г) $\frac{16}{x} = 2$

Это дробно-рациональное уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$.

Для решения умножим обе части уравнения на $x$ (это допустимо, так как $x \neq 0$):

$16 = 2x$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на $2$:

$x = \frac{16}{2}$

$x = 8$

Полученный корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ. Множество решений данного уравнения — $\{8\}$. Оно совпадает с множеством решений исходного уравнения, следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильно.