Номер 55.7, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§55. Равносильность уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 55.7, страница 219.

Докажите, что уравнение не имеет корней:

55.7 a) $\sqrt{3x - 5} = \sqrt{9 - 7x}$;

б) $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{1 - x^2} = 4.

а) $ \sqrt{3x - 5} = \sqrt{9 - 7x} $

Для того чтобы уравнение имело смысл, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Запишем систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ 9 - 7x \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $ 3x - 5 \ge 0 \implies 3x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{3} $

2) $ 9 - 7x \ge 0 \implies 9 \ge 7x \implies x \le \frac{9}{7} $

Таким образом, мы ищем значения $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: $ x \ge \frac{5}{3} $ и $ x \le \frac{9}{7} $. Сравним дроби $ \frac{5}{3} $ и $ \frac{9}{7} $. Приведем их к общему знаменателю 21:

$ \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{35}{21} $

$ \frac{9}{7} = \frac{9 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{27}{21} $

Поскольку $ \frac{35}{21} > \frac{27}{21} $, то $ \frac{5}{3} > \frac{9}{7} $. Не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно больше или равно большему числу ($ \frac{5}{3} $) и меньше или равно меньшему числу ($ \frac{9}{7} $). Следовательно, система неравенств не имеет решений, а область допустимых значений уравнения является пустым множеством.

Так как не существует значений $x$, при которых уравнение определено, оно не имеет корней.

Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

б) $ \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{1 - x^2} = 4 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.

$ \begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $ x^2 - 4 \ge 0 \implies x^2 \ge 4 $. Это неравенство выполняется при $ |x| \ge 2 $, то есть $ x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty) $.

2) $ 1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 $. Это неравенство выполняется при $ |x| \le 1 $, то есть $ x \in [-1, 1] $.

Область допустимых значений $x$ — это пересечение множеств решений этих двух неравенств: $ ((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) \cap [-1, 1] $.

Данное пересечение является пустым множеством, так как нет чисел, которые одновременно принадлежали бы промежутку $ [-1, 1] $ и одному из промежутков $ (-\infty, -2] $ или $ [2, \infty) $.

Поскольку область допустимых значений пуста, то есть не существует таких $x$, при которых левая часть уравнения имела бы смысл, уравнение не имеет корней.

Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.