Номер 55.12, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§55. Равносильность уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 55.12, страница 219.

55.12 a) $ \sin 2x \cdot \sqrt{4 - x^2} = 0; $

б) $ (\cos 2x - 1) \cdot \sqrt{9 - x^2} = 0; $

В) $ (\cos^2 x - \sin^2 x) \cdot \sqrt{1 - x^2} = 0; $

Г) $ \operatorname{tg} x \cdot \sqrt{16 - x^2} = 0. $

а)

Данное уравнение имеет вид $f(x) \cdot g(x) = 0$. Оно равносильно совокупности двух уравнений $f(x)=0$ или $g(x)=0$ при условии, что оба выражения $f(x)$ и $g(x)$ определены.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - x^2 \ge 0$ $x^2 \le 4$ $-2 \le x \le 2$ ОДЗ: $x \in [-2, 2]$.

2. Решим уравнение. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а второй при этом существует. $\sin 2x = 0$ или $\sqrt{4 - x^2} = 0$.

3. Решаем первое уравнение: $\sin 2x = 0$ $2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

4. Выберем корни, принадлежащие ОДЗ, то есть отрезку $[-2, 2]$. $-2 \le \frac{\pi k}{2} \le 2$ $-4 \le \pi k \le 4$ $-\frac{4}{\pi} \le k \le \frac{4}{\pi}$ Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем: $-1.27 \le k \le 1.27$ Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $-1, 0, 1$. Находим соответствующие значения $x$: при $k = -1, x = -\frac{\pi}{2}$ при $k = 0, x = 0$ при $k = 1, x = \frac{\pi}{2}$

5. Решаем второе уравнение: $\sqrt{4 - x^2} = 0$ $4 - x^2 = 0$ $x^2 = 4$ $x_1 = 2$, $x_2 = -2$. Оба корня принадлежат ОДЗ.

6. Объединяем все найденные решения.

Ответ: $-2; -\frac{\pi}{2}; 0; \frac{\pi}{2}; 2$.

б)

1. Найдем ОДЗ: $9 - x^2 \ge 0$ $x^2 \le 9$ $-3 \le x \le 3$ ОДЗ: $x \in [-3, 3]$.

2. Решим уравнение. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. $\cos 2x - 1 = 0$ или $\sqrt{9 - x^2} = 0$.

3. Решаем первое уравнение: $\cos 2x - 1 = 0$ $\cos 2x = 1$ $2x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

4. Выберем корни, принадлежащие ОДЗ $[-3, 3]$. $-3 \le \pi k \le 3$ $-\frac{3}{\pi} \le k \le \frac{3}{\pi}$ Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем: $-0.95 \le k \le 0.95$ Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее неравенству, это $k=0$. При $k = 0, x = 0$.

5. Решаем второе уравнение: $\sqrt{9 - x^2} = 0$ $9 - x^2 = 0$ $x^2 = 9$ $x_1 = 3$, $x_2 = -3$. Оба корня принадлежат ОДЗ.

6. Объединяем все найденные решения.

Ответ: $-3; 0; 3$.

в)

1. Упростим уравнение, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$: $\cos 2x \cdot \sqrt{1 - x^2} = 0$.

2. Найдем ОДЗ: $1 - x^2 \ge 0$ $x^2 \le 1$ $-1 \le x \le 1$ ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.

3. Решим уравнение. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. $\cos 2x = 0$ или $\sqrt{1 - x^2} = 0$.

4. Решаем первое уравнение: $\cos 2x = 0$ $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

5. Выберем корни, принадлежащие ОДЗ $[-1, 1]$. $-1 \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \le 1$ $-1 \le \frac{\pi(1+2k)}{4} \le 1$ $-\frac{4}{\pi} \le 1+2k \le \frac{4}{\pi}$ $-1.27 \le 1+2k \le 1.27$ $-2.27 \le 2k \le 0.27$ $-1.135 \le k \le 0.135$ Целые значения $k$, удовлетворяющие неравенству: $-1, 0$. При $k = -1, x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$. При $k = 0, x = \frac{\pi}{4}$.

6. Решаем второе уравнение: $\sqrt{1 - x^2} = 0$ $1 - x^2 = 0$ $x^2 = 1$ $x_1 = 1$, $x_2 = -1$. Оба корня принадлежат ОДЗ.

7. Объединяем все найденные решения.

Ответ: $-1; -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; 1$.

г)

1. Найдем ОДЗ. Оно определяется двумя условиями: а) Подрадикальное выражение неотрицательно: $16 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 16 \implies -4 \le x \le 4$. б) Тангенс должен быть определен, то есть $\cos x \ne 0$. Это значит, что $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В интервале $[-4, 4]$ лежат точки $x = \frac{\pi}{2}$ (при $n=0$) и $x = -\frac{\pi}{2}$ (при $n=-1$), которые нужно исключить. ОДЗ: $x \in [-4, 4], x \ne \pm \frac{\pi}{2}$.

2. Решим уравнение. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. $\tan x = 0$ или $\sqrt{16 - x^2} = 0$.

3. Решаем первое уравнение: $\tan x = 0$ $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

4. Выберем корни, принадлежащие ОДЗ. $-4 \le \pi k \le 4$ $-\frac{4}{\pi} \le k \le \frac{4}{\pi}$ $-1.27 \le k \le 1.27$ Целые значения $k$, удовлетворяющие неравенству: $-1, 0, 1$. Находим соответствующие значения $x$: при $k = -1, x = -\pi$ при $k = 0, x = 0$ при $k = 1, x = \pi$ Все эти корни входят в ОДЗ, так как они не равны $\pm \frac{\pi}{2}$.

5. Решаем второе уравнение: $\sqrt{16 - x^2} = 0$ $16 - x^2 = 0$ $x^2 = 16$ $x_1 = 4$, $x_2 = -4$. Эти корни входят в ОДЗ, так как $\cos(4) \ne 0$ и $\cos(-4) \ne 0$.

6. Объединяем все найденные решения.

Ответ: $-4; -\pi; 0; \pi; 4$.