Номер 56.1, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. §56. Общие методы решения уравнений - номер 56.1, страница 219.

Условие.

56.1 Будет ли уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$:

а) $3^{2-x} = 3^{x^2-4x};$

б) $(3x^2-2)^4 = (x-3)^4;$

в) $\sqrt[3]{7-x} = \sqrt[3]{5x+1};$

г) $\lg \frac{1}{x} = \lg (2x-7)?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$ тогда и только тогда, когда преобразование от первого ко второму является равносильным, то есть не приводит к потере или приобретению корней. Это выполняется при двух условиях:

1. Функция $h(t)$ является монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на своей области определения или, по крайней мере, на множестве значений функций $f(x)$ и $g(x)$. Монотонность функции $h(t)$ гарантирует ее инъективность, то есть из равенства $h(a) = h(b)$ следует равенство $a = b$.
2. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ для уравнения $h(f(x)) = h(g(x))$ совпадает с ОДЗ для уравнения $f(x) = g(x)$. Если ОДЗ первого уравнения является более узким, то переход ко второму может привести к появлению посторонних корней.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) В уравнении $3^{2-x} = 3^{x^2-4x}$ мы имеем дело с функциями $h(t) = 3^t$, $f(x) = 2 - x$ и $g(x) = x^2 - 4x$. Функция $h(t) = 3^t$ является показательной с основанием $3 > 1$, поэтому она строго возрастает на всей числовой прямой. Это означает, что она инъективна, и из равенства $h(a) = h(b)$ однозначно следует $a = b$. Области определения исходного уравнения $3^{2-x} = 3^{x^2-4x}$ и уравнения $2-x = x^2-4x$ совпадают (все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$), так как выражения в показателях степени определены для любого $x$. Следовательно, переход от первого уравнения ко второму является равносильным преобразованием.

Ответ: Да, будет.

б) В уравнении $(3x^2 - 2)^4 = (x - 3)^4$ мы имеем дело с функциями $h(t) = t^4$, $f(x) = 3x^2 - 2$ и $g(x) = x - 3$. Функция $h(t) = t^4$ не является монотонной на всей числовой прямой и, следовательно, не является инъективной. Например, $h(-2) = 16$ и $h(2) = 16$, но $-2 \neq 2$. Из равенства $a^4 = b^4$ следует, что либо $a=b$, либо $a=-b$. Таким образом, уравнение $(3x^2 - 2)^4 = (x - 3)^4$ равносильно совокупности двух уравнений: $3x^2 - 2 = x - 3$ и $3x^2 - 2 = -(x - 3)$. Уравнение $f(x) = g(x)$ является лишь одним из двух случаев. Переход к нему от исходного уравнения приведет к потере корней, которые являются решениями второго уравнения совокупности. Значит, уравнения не равносильны.

Ответ: Нет, не будет.

в) В уравнении $\sqrt[3]{7-x} = \sqrt[3]{5x+1}$ мы имеем дело с функциями $h(t) = \sqrt[3]{t}$, $f(x) = 7 - x$ и $g(x) = 5x + 1$. Функция $h(t) = \sqrt[3]{t}$ (кубический корень) является строго возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$. Следовательно, она инъективна. Область определения кубического корня — все действительные числа, поэтому области определения исходного и упрощенного уравнений ($7-x=5x+1$) совпадают ($x \in \mathbb{R}$). Таким образом, переход от уравнения $\sqrt[3]{7-x} = \sqrt[3]{5x+1}$ к уравнению $7-x = 5x+1$ является равносильным преобразованием.

Ответ: Да, будет.

г) В уравнении $\lg \frac{1}{x} = \lg(2x - 7)$ мы имеем дело с функциями $h(t) = \lg t$, $f(x) = \frac{1}{x}$ и $g(x) = 2x - 7$. Функция $h(t) = \lg t$ (десятичный логарифм) является строго возрастающей на своей области определения $(0; +\infty)$, поэтому она инъективна. Однако необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ). Для исходного уравнения аргументы логарифмов должны быть строго положительными:$\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{x} > 0 \\ 2x - 7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > 3.5 \end{cases} \Rightarrow x > 3.5$.ОДЗ исходного уравнения: $x \in (3.5; +\infty)$.Для уравнения $f(x) = g(x)$, то есть $\frac{1}{x} = 2x - 7$, ограничение только одно: $x \neq 0$. Его ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.Так как ОДЗ исходного уравнения является собственным подмножеством ОДЗ уравнения-следствия, переход не является равносильным. Уравнение $\frac{1}{x} = 2x - 7$ может иметь корни, которые не входят в ОДЗ исходного уравнения (например, отрицательные корни), и такие корни будут посторонними. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: Нет, не будет.