Номер 56.2, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.2, страница 220.

Решите уравнение:

56.2 a) $2^{\sqrt{x-3}} = \frac{1}{2}\sqrt{32};$

б) $10^{\log_2(x-3)} \cdot 0,00001 = 0,1^{\log_2(x-7)}.$

а) $2^{\sqrt{x-3}} = \frac{1}{2}\sqrt{32}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x - 3 \geq 0$

$x \geq 3$

Далее преобразуем правую часть уравнения. Упростим $\sqrt{32}$:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Тогда правая часть равна:

$\frac{1}{2}\sqrt{32} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Теперь представим $2\sqrt{2}$ как степень с основанием 2, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$2^{\sqrt{x-3}} = 2^{\frac{3}{2}}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$\sqrt{x-3} = \frac{3}{2}$

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-3})^2 = (\frac{3}{2})^2$

$x-3 = \frac{9}{4}$

Найдем $x$:

$x = \frac{9}{4} + 3 = \frac{9}{4} + \frac{12}{4} = \frac{21}{4}$

$x = 5.25$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \geq 3$). Так как $5.25 > 3$, корень является решением уравнения.

Ответ: $\frac{21}{4}$.

б) $10^{\log_2(x-3)} \cdot 0.00001 = 0.1^{\log_2(x-7)}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, поэтому составим систему неравенств:

$\begin{cases} x-3 > 0 \\ x-7 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x > 7 \end{cases} \implies x > 7$

Следовательно, ОДЗ: $x \in (7; +\infty)$.

Представим числовые множители в виде степеней с основанием 10:

$0.00001 = 10^{-5}$

$0.1 = 10^{-1}$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$10^{\log_2(x-3)} \cdot 10^{-5} = (10^{-1})^{\log_2(x-7)}$

Применим свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части и $(a^m)^n = a^{mn}$ для правой части:

$10^{\log_2(x-3) - 5} = 10^{-\log_2(x-7)}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\log_2(x-3) - 5 = -\log_2(x-7)$

Соберем слагаемые с логарифмами в левой части уравнения:

$\log_2(x-3) + \log_2(x-7) = 5$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$:

$\log_2((x-3)(x-7)) = 5$

По определению логарифма, если $\log_a(B) = c$, то $B = a^c$. Применим это к нашему уравнению:

$(x-3)(x-7) = 2^5$

$(x-3)(x-7) = 32$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 7x - 3x + 21 = 32$

$x^2 - 10x + 21 - 32 = 0$

$x^2 - 10x - 11 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета ($x_1+x_2=10, x_1x_2=-11$) или найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 100 + 44 = 144 = 12^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 12}{2}$

Находим два корня:

$x_1 = \frac{10 + 12}{2} = \frac{22}{2} = 11$

$x_2 = \frac{10 - 12}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 7$).

Корень $x_1 = 11$ удовлетворяет условию $11 > 7$, значит, он является решением.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $-1 > 7$, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $11$.