Номер 55.8, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§55. Равносильность уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 55.8, страница 219.

55.8 a) $\lg(x^2 - 9) + \lg(4 - x^2) = 1;$

б) $\lg(x^2 - 3x) - \lg(2x - x^2) = 0,5.$

а) $\lg(x^2 - 9) + \lg(4 - x^2) = 1$

Для решения логарифмического уравнения сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 9 > 0 \\ 4 - x^2 > 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} x^2 > 9 \\ x^2 < 4 \end{cases}$

Из первого неравенства $x^2 > 9$ следует, что $|x| > 3$, то есть $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Из второго неравенства $x^2 < 4$ следует, что $|x| < 2$, то есть $x \in (-2, 2)$.

Теперь найдем пересечение этих двух множеств, чтобы определить ОДЗ: $(-\infty, -3) \cup (3, \infty) \cap (-2, 2)$.

Эти множества не имеют общих точек, их пересечение пусто. Следовательно, система неравенств не имеет решений, и область допустимых значений уравнения пуста.

Поскольку не существует значений $x$, при которых уравнение имело бы смысл, у него нет решений.

Ответ: решений нет.

б) $\lg(x^2 - 3x) - \lg(2x - x^2) = 0,5$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3x > 0 \\ 2x - x^2 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $x^2 - 3x > 0 \Rightarrow x(x - 3) > 0$. Корни $x=0$ и $x=3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

2) $2x - x^2 > 0 \Rightarrow x(2 - x) > 0$. Корни $x=0$ и $x=2$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому неравенство выполняется при $x \in (0, 2)$.

Найдем пересечение полученных множеств для определения ОДЗ: $((-\infty, 0) \cup (3, \infty)) \cap (0, 2)$.

Множества $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$ и $(0, 2)$ не имеют общих точек, их пересечение пусто.

Так как область допустимых значений пуста, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.