Номер 55.3, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§55. Равносильность уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 55.3, страница 218.

55.3 Придумайте три уравнения, равносильные уравнению:

а) $\sqrt{2x - 1} = 3$;

б) $\cos x = 3$;

в) $\lg x^2 = 4$;

г) $x^{\frac{3}{5}} = -1$.

Равносильные уравнения — это уравнения, имеющие одинаковые множества решений. Чтобы составить три равносильных уравнения для каждого из заданных, мы сначала найдем множество решений исходного уравнения, а затем придумаем три новых уравнения с таким же множеством решений.

а)

Решим исходное уравнение $\sqrt{2x - 1} = 3$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием подкоренного выражения: $2x - 1 \ge 0$, что означает $x \ge 0.5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x - 1})^2 = 3^2$

$2x - 1 = 9$

$2x = 10$

$x = 5$

Корень $x = 5$ удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, множество решений данного уравнения — $\{5\}$.

Примеры равносильных уравнений (с единственным корнем $x=5$):
1. Линейное уравнение: $x - 5 = 0$.
2. Квадратное уравнение: $(x-5)^2 = 0$, или $x^2 - 10x + 25 = 0$.
3. Показательное уравнение: $7^{x-5} = 1$.

Ответ: $x-5=0$; $x^2-10x+25=0$; $7^{x-5}=1$.

б)

Рассмотрим уравнение $\cos x = 3$.

Область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Так как число $3$ не принадлежит этому отрезку, уравнение не имеет действительных решений. Множество решений пусто ($\emptyset$).

Примеры равносильных уравнений (не имеющих решений):
1. Алгебраическое уравнение: $x^2 + 1 = 0$.
2. Иррациональное уравнение: $\sqrt{x} = -2$.
3. Показательное уравнение: $e^x = -1$.

Ответ: $x^2+1=0$; $\sqrt{x}=-2$; $e^x=-1$.

в)

Решим уравнение $\lg x^2 = 4$.

ОДЗ: $x^2 > 0$, что выполняется для всех $x \ne 0$.

По определению десятичного логарифма:

$x^2 = 10^4$

$x^2 = 10000$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 100$ и $x_2 = -100$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Множество решений — $\{-100, 100\}$.

Примеры равносильных уравнений (с корнями $x = 100$ и $x = -100$):
1. Алгебраическое уравнение: $x^2 = 10000$.
2. Уравнение с модулем: $|x| = 100$.
3. Дробно-рациональное уравнение: $\frac{x^2}{100} = 100$.

Ответ: $x^2=10000$; $|x|=100$; $\frac{x^2}{100}=100$.

г)

Решим уравнение $x^{\frac{3}{5}} = -1$.

Степень с рациональным показателем $m/n$, где знаменатель $n$ — нечетное число, определена для всех действительных $x$. Уравнение можно переписать в виде $(\sqrt[5]{x})^3 = -1$.

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$\sqrt[5]{x} = \sqrt[3]{-1}$

$\sqrt[5]{x} = -1$

Возведем обе части в пятую степень:

$x = (-1)^5$

$x = -1$

Множество решений — $\{-1\}$.

Примеры равносильных уравнений (с единственным корнем $x=-1$):
1. Линейное уравнение: $x+1=0$.
2. Кубическое уравнение: $x^3 = -1$ или $x^3+1=0$.
3. Иррациональное уравнение: $\sqrt{8-x}=3$.

Ответ: $x+1=0$; $x^3=-1$; $\sqrt{8-x}=3$.