Номер 54.24, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.24, страница 217.

54.24 Произвольно выбирают числа $x$ и $y$ так, что $|x| \le 1$ и $|y| \le 1$.

Точку $(x, y)$ отмечают на координатной плоскости. Какова вероятность того, что:

а) эта точка лежит в первой координатной четверти;

б) $x + y < 0$;

в) эта точка лежит или во второй, или в четвёртой координатной четверти;

г) $x + y > 0$, а $xy < 0$?

Для решения задачи воспользуемся геометрическим определением вероятности. Условия $|x| \le 1$ и $|y| \le 1$ задают на координатной плоскости квадрат с вершинами в точках $(-1, -1)$, $(1, -1)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. Этот квадрат является пространством всех возможных исходов.

Площадь этого квадрата, $S_{общ}$, равна $2 \times 2 = 4$.

Вероятность события $A$ будет равна отношению площади области $S_A$, соответствующей этому событию, к общей площади квадрата: $P(A) = \frac{S_A}{S_{общ}}$.

а) эта точка лежит в первой координатной четверти;

Точка $(x, y)$ лежит в первой координатной четверти, если выполняются условия $x > 0$ и $y > 0$. С учётом исходных ограничений, область, благоприятствующая этому событию, определяется системой неравенств:

$0 < x \le 1$
$0 < y \le 1$

Эта область представляет собой квадрат с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(1, 1)$ и $(0, 1)$. Площадь этой области $S_a$ равна $1 \times 1 = 1$.

Вероятность данного события равна:

$P(a) = \frac{S_a}{S_{общ}} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) $x + y < 0$;

Неравенство $x + y < 0$ эквивалентно $y < -x$. Это условие определяет полуплоскость, лежащую ниже прямой $y = -x$. Прямая $y = -x$ проходит через вершины исходного квадрата $(-1, 1)$ и $(1, -1)$ и делит его на два равных треугольника.

Область, удовлетворяющая условию $y < -x$ внутри квадрата, — это треугольник с вершинами в точках $(-1, 1)$, $(1, -1)$ и $(-1, -1)$. Площадь этой области $S_б$ равна половине площади всего квадрата.

$S_б = \frac{1}{2} S_{общ} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.

Вероятность события равна:

$P(б) = \frac{S_б}{S_{общ}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) эта точка лежит или во второй, или в четвёртой координатной четверти;

Точка лежит во второй четверти, если $x < 0$ и $y > 0$. В пределах заданного квадрата это область $-1 \le x < 0$ и $0 < y \le 1$. Это квадрат с площадью $1 \times 1 = 1$.

Точка лежит в четвёртой четверти, если $x > 0$ и $y < 0$. В пределах заданного квадрата это область $0 < x \le 1$ и $-1 \le y < 0$. Это также квадрат с площадью $1 \times 1 = 1$.

Так как эти две области не пересекаются, общая благоприятствующая площадь $S_в$ является суммой их площадей:

$S_в = 1 + 1 = 2$.

Вероятность события равна:

$P(в) = \frac{S_в}{S_{общ}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г) $x + y > 0$, а $xy < 0$?

Это событие является пересечением двух условий: $x + y > 0$ и $xy < 0$.

1. Условие $xy < 0$ означает, что $x$ и $y$ имеют разные знаки. Это соответствует нахождению точки во второй или четвертой координатной четверти. Как было найдено в пункте (в), площадь этой области внутри исходного квадрата равна 2.

2. Условие $x + y > 0$ (или $y > -x$) означает, что точка должна лежать выше прямой $y = -x$.

Найдём площадь пересечения этих двух областей.

• Во второй четверти (область $-1 \le x < 0, 0 < y \le 1$): прямая $y = -x$ делит этот единичный квадрат на два равных треугольника. Условию $y > -x$ удовлетворяет верхний треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(0, 1)$ и $(-1, 1)$. Его площадь равна $\frac{1}{2}$.
• В четвертой четверти (область $0 < x \le 1, -1 \le y < 0$): прямая $y = -x$ также делит этот единичный квадрат на два равных треугольника. Условию $y > -x$ удовлетворяет верхний треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(1, -1)$. Его площадь также равна $\frac{1}{2}$.

Суммарная площадь благоприятствующей области $S_г$ равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_г = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Вероятность события равна:

$P(г) = \frac{S_г}{S_{общ}} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.