Номер 55.6, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§55. Равносильность уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 55.6, страница 219.

55.6 а) $\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1} = 3$ и $x^2 + 3x - 1 = 3x^2 + 3;$

б) $\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2} = 0,5$ и $\sin x + 1 = 0,5\sin x + 1?$

а) Чтобы определить, равносильны ли уравнения $\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1} = 3$ и $x^2 + 3x - 1 = 3x^2 + 3$, проанализируем их.

Первое уравнение — дробно-рациональное: $\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1} = 3$.

Его область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x^2 + 1 \neq 0$.

Для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$, из чего следует, что $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен и никогда не обращается в ноль. ОДЗ первого уравнения — множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$).

Второе уравнение — квадратное: $x^2 + 3x - 1 = 3x^2 + 3$. Его ОДЗ также является множеством всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$).

Теперь преобразуем первое уравнение. Поскольку знаменатель $x^2 + 1$ не равен нулю ни при каких значениях $x$, мы можем умножить обе части уравнения на это выражение. Такое преобразование является равносильным, так как мы умножаем на выражение, не равное нулю.

$(\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1}) \cdot (x^2 + 1) = 3 \cdot (x^2 + 1)$

$x^2 + 3x - 1 = 3(x^2 + 1)$

$x^2 + 3x - 1 = 3x^2 + 3$

В результате равносильного преобразования первого уравнения мы получили в точности второе уравнение. Так как их ОДЗ совпадают, и одно уравнение получается из другого равносильным преобразованием, эти уравнения равносильны.

Ответ: да, уравнения равносильны.

б) Чтобы определить, равносильны ли уравнения $\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2} = 0,5$ и $\sin x + 1 = 0,5\sin x + 1$, проанализируем их.

Первое уравнение — тригонометрическое, содержащее дробь: $\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2} = 0,5$.

Его ОДЗ определяется условием неравенства нулю знаменателя: $\sin x + 2 \neq 0$.

Известно, что функция синуса ограничена: $-1 \le \sin x \le 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Тогда для знаменателя $\sin x + 2$ получаем: $-1 + 2 \le \sin x + 2 \le 1 + 2$, то есть $1 \le \sin x + 2 \le 3$. Знаменатель всегда является положительным числом и никогда не равен нулю. Следовательно, ОДЗ первого уравнения — множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$).

Второе уравнение — также тригонометрическое: $\sin x + 1 = 0,5\sin x + 1$. Его ОДЗ — также множество всех действительных чисел.

Преобразуем первое уравнение, умножив обе его части на знаменатель $\sin x + 2$. Так как это выражение никогда не равно нулю, данное преобразование является равносильным.

$(\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2}) \cdot (\sin x + 2) = 0,5 \cdot (\sin x + 2)$

$\sin x + 1 = 0,5(\sin x + 2)$

Раскроем скобки в правой части:

$\sin x + 1 = 0,5\sin x + 0,5 \cdot 2$

$\sin x + 1 = 0,5\sin x + 1$

Полученное уравнение в точности совпадает со вторым уравнением. Поскольку второе уравнение было получено из первого путем равносильного преобразования, и их ОДЗ совпадают, эти уравнения равносильны.

Ответ: да, уравнения равносильны.