Номер 55.11, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§55. Равносильность уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 55.11, страница 219.

55.11 a) $(x^2 - 9)(\sqrt{3 - 2x} - x) = 0;$

б) $(x^2 - 16)(\sqrt{4 - 3x} - x) = 0.$

а) $(x^2 - 9)(\sqrt{3 - 2x} - x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом имеет смысл. Следовательно, мы должны решить совокупность уравнений при условии, что подкоренное выражение неотрицательно.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3 - 2x \ge 0$.
$3 \ge 2x$
$x \le \frac{3}{2}$
$x \le 1.5$.
Все корни уравнения должны удовлетворять этому условию.

2. Приравняем к нулю первый множитель:
$x^2 - 9 = 0$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

3. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le 1.5$):
Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $3 > 1.5$. Этот корень является посторонним.
Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 \le 1.5$. Этот корень является решением уравнения.

4. Приравняем к нулю второй множитель:
$\sqrt{3 - 2x} - x = 0$
$\sqrt{3 - 2x} = x$
Для решения этого иррационального уравнения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательна, то есть $x \ge 0$.
С учетом ОДЗ ($x \le 1.5$), получаем, что корень должен лежать в промежутке $0 \le x \le 1.5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3 - 2x})^2 = x^2$
$3 - 2x = x^2$
$x^2 + 2x - 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-3$.
$x_3 = 1$, $x_4 = -3$.

5. Проверим эти корни на соответствие условию $0 \le x \le 1.5$:
Корень $x_3 = 1$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1 \le 1.5$. Этот корень является решением.
Корень $x_4 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < 0$. Этот корень является посторонним для данного уравнения ($\sqrt{3 - 2x} = x$).

6. Объединим все найденные решения.
Из первого случая мы получили корень $x = -3$.
Из второго случая мы получили корень $x = 1$.
Итоговые корни уравнения: $-3$ и $1$.

Ответ: $-3; 1$.

---

б) $(x^2 - 16)(\sqrt{4 - 3x} - x) = 0$

Это уравнение также представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Решаем по аналогии с предыдущим пунктом.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - 3x \ge 0$.
$4 \ge 3x$
$x \le \frac{4}{3}$.
Все корни уравнения должны удовлетворять этому условию.

2. Приравняем к нулю первый множитель:
$x^2 - 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

3. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le \frac{4}{3}$):
Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $4 > \frac{4}{3}$. Этот корень является посторонним.
Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 \le \frac{4}{3}$. Этот корень является решением уравнения.

4. Приравняем к нулю второй множитель:
$\sqrt{4 - 3x} - x = 0$
$\sqrt{4 - 3x} = x$
Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
С учетом ОДЗ ($x \le \frac{4}{3}$), получаем, что корень должен принадлежать отрезку $[0; \frac{4}{3}]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{4 - 3x})^2 = x^2$
$4 - 3x = x^2$
$x^2 + 3x - 4 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение равно $-4$.
$x_3 = 1$, $x_4 = -4$.

5. Проверим эти корни на соответствие условию $0 \le x \le \frac{4}{3}$:
Корень $x_3 = 1$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1 \le \frac{4}{3}$. Этот корень является решением.
Корень $x_4 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < 0$. Этот корень является посторонним для данного уравнения ($\sqrt{4 - 3x} = x$).

6. Объединим все найденные решения.
Из первого случая мы получили корень $x = -4$.
Из второго случая мы получили корень $x = 1$.
Итоговые корни уравнения: $-4$ и $1$.

Ответ: $-4; 1$.