Номер 56.8, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.8, страница 220.

56.8 a) $(\sqrt{3})^{\operatorname{tg} x} = \frac{3\sqrt{3}}{3^{\operatorname{tg} x}}$

б) $(\sqrt{2})^{2 \cos x} = \frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}}$

а) $(\sqrt{3})^{\operatorname{tg} x} = \frac{3\sqrt{3}}{3^{\operatorname{tg} x}}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае удобнее всего использовать основание 3.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и определение корня $\sqrt{a} = a^{1/2}$:
$(\sqrt{3})^{\operatorname{tg} x} = (3^{1/2})^{\operatorname{tg} x} = 3^{\frac{1}{2}\operatorname{tg} x}$.
Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3\sqrt{3}}{3^{\operatorname{tg} x}} = \frac{3^1 \cdot 3^{1/2}}{3^{\operatorname{tg} x}} = \frac{3^{1+1/2}}{3^{\operatorname{tg} x}} = \frac{3^{3/2}}{3^{\operatorname{tg} x}} = 3^{\frac{3}{2} - \operatorname{tg} x}$.
Теперь исходное уравнение можно записать в виде:
$3^{\frac{1}{2}\operatorname{tg} x} = 3^{\frac{3}{2} - \operatorname{tg} x}$.
Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$\frac{1}{2}\operatorname{tg} x = \frac{3}{2} - \operatorname{tg} x$.
Решим полученное линейное уравнение относительно $\operatorname{tg} x$:
$\frac{1}{2}\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$
$\frac{3}{2}\operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$
$\operatorname{tg} x = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение:
$x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения определяется условием существования тангенса: $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Найденные решения удовлетворяют этому условию.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $(\sqrt{2})^{2 \cos x} = \frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 2.
Преобразуем левую часть:
$(\sqrt{2})^{2 \cos x} = (2^{1/2})^{2 \cos x} = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2 \cos x} = 2^{\cos x}$.
Преобразуем правую часть, используя свойства степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$:
$\frac{1}{2 \cdot 2^{\cos x}} = \frac{1}{2^1 \cdot 2^{\cos x}} = \frac{1}{2^{1 + \cos x}} = 2^{-(1 + \cos x)} = 2^{-1 - \cos x}$.
Теперь уравнение имеет вид:
$2^{\cos x} = 2^{-1 - \cos x}$.
Поскольку основания степеней равны, приравниваем показатели:
$\cos x = -1 - \cos x$.
Решим полученное уравнение относительно $\cos x$:
$\cos x + \cos x = -1$
$2\cos x = -1$
$\cos x = -\frac{1}{2}$.
Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:
$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
ОДЗ для данного уравнения — все действительные числа, так как функция $\cos x$ определена при любом $x$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.