Номер 56.15, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.15, страница 221.

Решите уравнение методом введения новой переменной:

56.15 a) $8x^6 + 7x^3 - 1 = 0;$

б) $x^8 + 3x^4 - 4 = 0.$

а) $8x^6 + 7x^3 - 1 = 0$

Данное уравнение является уравнением, сводящимся к квадратному. Заметим, что $x^6 = (x^3)^2$. Это позволяет нам ввести новую переменную.

Пусть $t = x^3$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$8t^2 + 7t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 49 + 32 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 8} = \frac{-7 - 9}{16} = \frac{-16}{16} = -1$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 8} = \frac{-7 + 9}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

1. Если $t = -1$, то:

$x^3 = -1$

$x = \sqrt[3]{-1}$

$x_1 = -1$

2. Если $t = \frac{1}{8}$, то:

$x^3 = \frac{1}{8}$

$x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$

$x_2 = \frac{1}{2}$

Следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-1; \frac{1}{2}$.

б) $x^8 + 3x^4 - 4 = 0$

Это уравнение также можно свести к квадратному. Заметим, что $x^8 = (x^4)^2$. Введем новую переменную.

Пусть $y = x^4$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 + 3y - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-4$. Корнями являются $y_1 = -4$ и $y_2 = 1$.

Или решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$

$y_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$

Теперь выполним обратную замену для нахождения $x$.

1. Если $y = -4$, то:

$x^4 = -4$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень действительного числа ($x^4$) не может быть отрицательной.

2. Если $y = 1$, то:

$x^4 = 1$

Это уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Следовательно, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-1; 1$.