Номер 56.17, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.17, страница 221.

56.17 a)

$ \sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}} + 4\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}} = 4; $

б) $ \sqrt{\frac{5x-1}{x+3}} + 5\sqrt{\frac{x+3}{5x-1}} = 6. $

а)

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}} + 4\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}} = 4$.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Для существования корней необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Поскольку сумма корней равна положительному числу 4, ни одно из подкоренных выражений не может быть равно нулю (иначе знаменатель обратной дроби стал бы нулём). Следовательно, подкоренные выражения должны быть строго положительными: $\frac{2x+3}{2x-1} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = -3/2 = -1.5$ и $x = 1/2 = 0.5$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Проверяя знаки на интервалах, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -1.5) \cup (0.5; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Заметим, что второй радикал является обратной величиной первого. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}$. По определению арифметического корня, $y > 0$. Тогда $\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}} = \frac{1}{y}$.

Подставим замену в исходное уравнение: $y + 4 \cdot \frac{1}{y} = 4$.

Умножим обе части уравнения на $y$ (мы знаем, что $y \neq 0$): $y^2 + 4 = 4y$ $y^2 - 4y + 4 = 0$.

Полученное квадратное уравнение является полным квадратом: $(y-2)^2 = 0$. Отсюда находим единственное решение для $y$: $y = 2$.

Теперь выполним обратную замену: $\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}} = 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикала: $\frac{2x+3}{2x-1} = 2^2$ $\frac{2x+3}{2x-1} = 4$.

Решим полученное линейное уравнение: $2x+3 = 4(2x-1)$ $2x+3 = 8x-6$ $3+6 = 8x-2x$ $9 = 6x$ $x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Наша ОДЗ: $x \in (-\infty; -1.5) \cup (0.5; +\infty)$. Поскольку $1.5 > 0.5$, корень $x=1.5$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $1.5$.

б)

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}} + 5\sqrt{\frac{x+3}{5x-1}} = 6$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аналогично предыдущему пункту, подкоренные выражения должны быть строго положительными: $\frac{5x-1}{x+3} > 0$.

Нули числителя и знаменателя: $x = 1/5 = 0.2$ и $x = -3$. Решая неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (0.2; +\infty)$.

Введем замену. Пусть $z = \sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}$. Тогда $z > 0$. Соответственно, $\sqrt{\frac{x+3}{5x-1}} = \frac{1}{z}$.

Подставив замену в уравнение, получим: $z + 5 \cdot \frac{1}{z} = 6$.

Умножим обе части на $z$ ($z \neq 0$): $z^2 + 5 = 6z$ $z^2 - 6z + 5 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $z_1 = 1$, $z_2 = 5$. Оба корня положительны, поэтому оба являются решениями для переменной $z$.

Рассмотрим два случая, выполняя обратную замену.

Случай 1: $z = 1$. $\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}} = 1$ Возводим в квадрат: $\frac{5x-1}{x+3} = 1$ $5x-1 = x+3$ $4x = 4$ $x_1 = 1$.

Случай 2: $z = 5$. $\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}} = 5$ Возводим в квадрат: $\frac{5x-1}{x+3} = 25$ $5x-1 = 25(x+3)$ $5x-1 = 25x + 75$ $-1 - 75 = 25x - 5x$ $-76 = 20x$ $x_2 = -\frac{76}{20} = -\frac{19}{5} = -3.8$.

Проверим оба корня на принадлежность ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (0.2; +\infty)$. - Для $x_1 = 1$: $1 > 0.2$, корень подходит. - Для $x_2 = -3.8$: $-3.8 < -3$, корень также подходит.

Ответ: $-3.8; 1$.