Номер 56.19, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. §56. Общие методы решения уравнений - номер 56.19, страница 221.

Условие.

56.19 a) $7^{2x+1} - 50 \cdot 7^x = -7;$

б) $\log_2^2 x + 12 = 7 \log_2 x;$

В) $4\sin^2 x + 4 = 17\sin x;$

Г) $\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а) $7^{2x+1} - 50 \cdot 7^x = -7$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и преобразуем его, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$7^{2x} \cdot 7^1 - 50 \cdot 7^x + 7 = 0$

$7 \cdot (7^x)^2 - 50 \cdot 7^x + 7 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $7^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$7t^2 - 50t + 7 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 - 196 = 2304$

$\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-50) + 48}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7$

$t_2 = \frac{-(-50) - 48}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$. Вернемся к исходной переменной $x$.

1) $7^x = t_1 = 7 \implies 7^x = 7^1 \implies x_1 = 1$.

2) $7^x = t_2 = \frac{1}{7} \implies 7^x = 7^{-1} \implies x_2 = -1$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

б) $\log_2^2 x + 12 = 7 \log_2 x$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения определяется условием $x > 0$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\log_2^2 x - 7 \log_2 x + 12 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Решим его по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Следовательно, корни:

$t_1 = 3$

$t_2 = 4$

Вернемся к исходной переменной $x$.

1) $\log_2 x = t_1 = 3 \implies x_1 = 2^3 = 8$.

2) $\log_2 x = t_2 = 4 \implies x_2 = 2^4 = 16$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x_1 = 8, x_2 = 16$.

в) $4 \sin^2 x + 4 = 17 \sin x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4 \sin^2 x - 17 \sin x + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая область значений синуса, имеем $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратное уравнение:

$4t^2 - 17t + 4 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$

$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$t_2 = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Проверим корни на соответствие условию $-1 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 1$.

Корень $t_2 = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию, так как $-1 \le \frac{1}{4} \le 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\sin x = \frac{1}{4}$

Решение этого тригонометрического уравнения имеет вид:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 2 = 0$

ОДЗ: подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$.

Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Из ОДЗ следует, что $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим его по теореме Виета. Сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Следовательно, корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = -1$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$ для $t=2$:

$\sqrt[6]{x} = 2$

Возведем обе части уравнения в шестую степень:

$(\sqrt[6]{x})^6 = 2^6$

$x = 64$

Корень $x=64$ удовлетворяет ОДЗ ($64 \ge 0$).

Ответ: $x = 64$.