Номер 56.19, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.19, страница 221.
№56.19 (с. 221)
Условие. №56.19 (с. 221)
скриншот условия

56.19 a) $7^{2x+1} - 50 \cdot 7^x = -7;$
б) $\log_2^2 x + 12 = 7 \log_2 x;$
В) $4\sin^2 x + 4 = 17\sin x;$
Г) $\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 2 = 0.$
Решение 1. №56.19 (с. 221)

Решение 2. №56.19 (с. 221)



Решение 5. №56.19 (с. 221)



Решение 6. №56.19 (с. 221)
а) $7^{2x+1} - 50 \cdot 7^x = -7$
Перенесем все члены уравнения в левую часть и преобразуем его, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$7^{2x} \cdot 7^1 - 50 \cdot 7^x + 7 = 0$
$7 \cdot (7^x)^2 - 50 \cdot 7^x + 7 = 0$
Это уравнение является квадратным относительно $7^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$7t^2 - 50t + 7 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 - 196 = 2304$
$\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-(-50) + 48}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7$
$t_2 = \frac{-(-50) - 48}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$. Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $7^x = t_1 = 7 \implies 7^x = 7^1 \implies x_1 = 1$.
2) $7^x = t_2 = \frac{1}{7} \implies 7^x = 7^{-1} \implies x_2 = -1$.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.
б) $\log_2^2 x + 12 = 7 \log_2 x$
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения определяется условием $x > 0$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$\log_2^2 x - 7 \log_2 x + 12 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 7t + 12 = 0$
Решим его по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Следовательно, корни:
$t_1 = 3$
$t_2 = 4$
Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $\log_2 x = t_1 = 3 \implies x_1 = 2^3 = 8$.
2) $\log_2 x = t_2 = 4 \implies x_2 = 2^4 = 16$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $x_1 = 8, x_2 = 16$.
в) $4 \sin^2 x + 4 = 17 \sin x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$4 \sin^2 x - 17 \sin x + 4 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая область значений синуса, имеем $-1 \le t \le 1$.
Получаем квадратное уравнение:
$4t^2 - 17t + 4 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$
$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$
$t_2 = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Проверим корни на соответствие условию $-1 \le t \le 1$.
Корень $t_1 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 1$.
Корень $t_2 = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию, так как $-1 \le \frac{1}{4} \le 1$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$\sin x = \frac{1}{4}$
Решение этого тригонометрического уравнения имеет вид:
$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
г) $\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 2 = 0$
ОДЗ: подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$.
Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Из ОДЗ следует, что $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - t - 2 = 0$
Решим его по теореме Виета. Сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Следовательно, корни:
$t_1 = 2$
$t_2 = -1$
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$ для $t=2$:
$\sqrt[6]{x} = 2$
Возведем обе части уравнения в шестую степень:
$(\sqrt[6]{x})^6 = 2^6$
$x = 64$
Корень $x=64$ удовлетворяет ОДЗ ($64 \ge 0$).
Ответ: $x = 64$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 56.19 расположенного на странице 221 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №56.19 (с. 221), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.