Номер 56.21, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.21, страница 221.

Решите уравнение, используя функционально-графические методы:

56.21 a) $x = \sqrt[3]{x}$; б) $|x| = \sqrt[5]{x}$.

a) $x = \sqrt[3]{x}$

Для решения данного уравнения функционально-графическим методом рассмотрим две функции: $y = x$ и $y = \sqrt[3]{x}$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков этих функций.

1. Построим график функции $y = x$. Это прямая линия, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

2. Построим график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Она проходит через точки $(-8, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(8, 2)$.

Совместим графики в одной системе координат.

Из построения видно, что графики пересекаются в трех точках. Найдем их координаты:

• При $x = -1$, $y = -1$ и $y = \sqrt[3]{-1} = -1$. Точка пересечения $(-1, -1)$.
• При $x = 0$, $y = 0$ и $y = \sqrt[3]{0} = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
• При $x = 1$, $y = 1$ и $y = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка пересечения $(1, 1)$.

Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.

Проверим аналитически:
$x = \sqrt[3]{x}$
Возведем обе части уравнения в куб:
$x^3 = (\sqrt[3]{x})^3$
$x^3 = x$
$x^3 - x = 0$
$x(x^2 - 1) = 0$
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Ответ: $x = -1, x = 0, x = 1$.

б) $|x| = \sqrt[5]{x}$

Рассмотрим две функции: $y = |x|$ и $y = \sqrt[5]{x}$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения их графиков.

1. Построим график функции $y = |x|$. Этот график состоит из двух лучей: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$. Вершина графика находится в точке $(0, 0)$.

2. Построим график функции $y = \sqrt[5]{x}$. Это степенная функция, симметричная относительно начала координат. Она проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(32, 2)$.

Заметим, что левая часть уравнения, $|x|$, всегда неотрицательна ($|x| \ge 0$). Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $\sqrt[5]{x} \ge 0$, что выполняется только при $x \ge 0$. Таким образом, решения уравнения могут быть только неотрицательными.

Для $x \ge 0$ уравнение принимает вид $x = \sqrt[5]{x}$. Мы ищем точки пересечения графиков $y = x$ и $y = \sqrt[5]{x}$ на промежутке $[0, +\infty)$.

Совместим графики $y = |x|$ и $y = \sqrt[5]{x}$ в одной системе координат.

Из графика видно, что пересечения происходят в двух точках:

• При $x = 0$, $y = |0| = 0$ и $y = \sqrt[5]{0} = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
• При $x = 1$, $y = |1| = 1$ и $y = \sqrt[5]{1} = 1$. Точка пересечения $(1, 1)$.

Других пересечений для $x \ge 0$ нет, так как при $0 < x < 1$ график $y = \sqrt[5]{x}$ лежит выше графика $y = x$, а при $x > 1$ — ниже. Для $x < 0$ график $y=|x|$ лежит в верхней полуплоскости, а график $y = \sqrt[5]{x}$ — в нижней, поэтому пересечений нет.

Проверим аналитически для $x \ge 0$:
$x = \sqrt[5]{x}$
Возведем обе части в пятую степень:
$x^5 = x$
$x^5 - x = 0$
$x(x^4 - 1) = 0$
$x(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$
$x(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0$
Действительные корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$. Учитывая условие $x \ge 0$, получаем решения $x = 0$ и $x = 1$.

Ответ: $x = 0, x = 1$.