Номер 57.9, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.9, страница 224.

57.9 а) $ \begin{cases} (x+3)^3 \ge 27, \\ 4x-1 < 12x; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} (x+3)(x^2-3x+9) < 54, \\ x^2-9 > 0. \end{cases} $

а) Сначала решим первое неравенство $(x + 3)^3 \ge 27$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $x + 3 \ge 3$, откуда следует, что $x \ge 0$. Решение этого неравенства — промежуток $[0, +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство $4x - 1 < 12x$. Перенесем члены с $x$ в одну сторону: $-1 < 12x - 4x$, что дает $-1 < 8x$. Разделив на 8, получаем $x > -\frac{1}{8}$. Решение этого неравенства — промежуток $(-\frac{1}{8}, +\infty)$.

Решение системы — это пересечение полученных промежутков: $[0, +\infty) \cap (-\frac{1}{8}, +\infty)$. Пересечением является промежуток $[0, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

б) Сначала решим первое неравенство $(x + 3)(x^2 - 3x + 9) < 54$. Левая часть представляет собой формулу суммы кубов, $x^3 + 3^3$. Неравенство преобразуется в $x^3 + 27 < 54$, или $x^3 < 27$. Извлекая кубический корень, получаем $x < 3$. Решение — промежуток $(-\infty, 3)$.

Теперь решим второе неравенство $x^2 - 9 > 0$. Разложив на множители, получаем $(x-3)(x+3) > 0$. Корнями соответствующего уравнения являются $x = -3$ и $x = 3$. Так как парабола $y=x^2-9$ имеет ветви вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями, то есть при $x < -3$ или $x > 3$. Решение — объединение промежутков $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 3) \cap ((-\infty, -3) \cup (3, +\infty))$. Пересечением является промежуток $(-\infty, -3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3)$.