Номер 57.15, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.15, страница 225.

57.15 a) $(3 - 3 \log_{0.2}x)^{13} < (\log_{0.2}x + 7)^{13};$

б) $(3 \log_{7}x - 24)^{5} > (2 \log_{7}x - 22)^{5}.$

a) $(3 - 3\log_{0,2}x)^{13} < (\log_{0,2}x + 7)^{13}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$

2. Функция $y = t^{13}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, так как ее показатель степени — нечетное число. Поэтому, если $a^{13} < b^{13}$, то и $a < b$. Следовательно, мы можем извлечь корень 13-й степени из обеих частей неравенства, сохранив знак неравенства:

$3 - 3\log_{0,2}x < \log_{0,2}x + 7$

3. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_{0,2}x$. Неравенство примет вид:

$3 - 3t < t + 7$

4. Решим полученное линейное неравенство относительно $t$:

$3 - 7 < t + 3t$

$-4 < 4t$

$-1 < t$ или $t > -1$

5. Выполним обратную замену:

$\log_{0,2}x > -1$

6. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,2:

$-1 = -1 \cdot \log_{0,2}{0,2} = \log_{0,2}{(0,2)^{-1}} = \log_{0,2}{\frac{1}{0,2}} = \log_{0,2}{5}$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0,2}x > \log_{0,2}5$

7. Так как основание логарифма $0,2$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция $y = \log_{0,2}x$ является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 5$

8. Объединим полученное решение с ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ x < 5 \end{array} \right.$

Следовательно, $0 < x < 5$.

Ответ: $(0; 5)$

б) $(3\log_{7}x - 24)^5 > (2\log_{7}x - 22)^5$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x > 0$

2. Функция $y = t^5$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Поэтому, если $a^5 > b^5$, то и $a > b$. Извлечем корень 5-й степени из обеих частей неравенства, сохранив знак:

$3\log_{7}x - 24 > 2\log_{7}x - 22$

3. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_{7}x$. Неравенство примет вид:

$3t - 24 > 2t - 22$

4. Решим линейное неравенство относительно $t$:

$3t - 2t > 24 - 22$

$t > 2$

5. Выполним обратную замену:

$\log_{7}x > 2$

6. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 7:

$2 = 2 \cdot \log_{7}{7} = \log_{7}{7^2} = \log_{7}{49}$

Неравенство принимает вид:

$\log_{7}x > \log_{7}{49}$

7. Так как основание логарифма $7 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{7}x$ является возрастающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$x > 49$

8. Полученное решение $x > 49$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$), поэтому оно и является окончательным решением.

Ответ: $(49; +\infty)$