Номер 57.20, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.20, страница 225.

57.20 a) $\log_2^2 x - 7 \log_2 x + 12 < 0;$

б) $3 \log_{1/3}^2 x - 10 \log_{1/3} x + 3 \ge 0.$

a) $ \log_2^2 x - 7\log_2 x + 12 < 0 $

Данное неравенство является логарифмическим. В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.

Это неравенство является квадратным относительно $ \log_2 x $. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \log_2 x $. Тогда исходное неравенство принимает вид:

$ t^2 - 7t + 12 < 0 $

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $ t^2 - 7t + 12 = 0 $. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни:

$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 $

$ t_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3 $

$ t_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4 $

Парабола $ y = t^2 - 7t + 12 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями. Таким образом, решение для $t$ есть интервал $ 3 < t < 4 $.

Теперь выполним обратную замену $ t = \log_2 x $:

$ 3 < \log_2 x < 4 $

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств. Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей, и знаки неравенств сохраняются при потенцировании:

$ \log_2 x > 3 \implies x > 2^3 \implies x > 8 $

$ \log_2 x < 4 \implies x < 2^4 \implies x < 16 $

Объединяя эти два условия, получаем $ 8 < x < 16 $. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($ x > 0 $).

Ответ: $ x \in (8; 16) $.

б) $ 3\log_{\frac{1}{3}}^2 x - 10\log_{\frac{1}{3}} x + 3 \ge 0 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ x > 0 $.

Данное неравенство является квадратным относительно $ \log_{\frac{1}{3}} x $. Введем замену переменной. Пусть $ y = \log_{\frac{1}{3}} x $. Неравенство примет вид:

$ 3y^2 - 10y + 3 \ge 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $ 3y^2 - 10y + 3 = 0 $:

$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2 $

$ y_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

$ y_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $

Парабола $ z = 3y^2 - 10y + 3 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня. Решением для $y$ будет объединение двух промежутков:

$ y \le \frac{1}{3} $ или $ y \ge 3 $.

Выполним обратную замену $ y = \log_{\frac{1}{3}} x $. Получим совокупность двух неравенств:

$ \log_{\frac{1}{3}} x \le \frac{1}{3} $

$ \log_{\frac{1}{3}} x \ge 3 $

Решим каждое неравенство. Так как основание логарифма $ \frac{1}{3} < 1 $, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.

1) $ \log_{\frac{1}{3}} x \le \frac{1}{3} \implies x \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}} \implies x \ge \frac{1}{\sqrt[3]{3}} $.

2) $ \log_{\frac{1}{3}} x \ge 3 \implies x \le \left(\frac{1}{3}\right)^3 \implies x \le \frac{1}{27} $.

Учитывая ОДЗ ($ x > 0 $), решение второго неравенства будет $ 0 < x \le \frac{1}{27} $.

Объединяя решения обоих неравенств, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ x \in \left(0; \frac{1}{27}\right] \cup \left[\frac{1}{\sqrt[3]{3}}; +\infty\right) $.