Номер 57.18, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.18, страница 225.

57.18 a) $\sqrt[3]{x} - 6\sqrt[6]{x} - 2 > 0;$

б) $\sqrt[5]{x} - 6\sqrt[10]{x} + 8 < 0.$

а) $\sqrt[3]{x} - 6\sqrt[6]{x} - 2 > 0$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение $\sqrt[3]{x}$ определено для всех действительных чисел $x$.
Выражение $\sqrt[6]{x}$ определено только для неотрицательных чисел, то есть $x \ge 0$.
Следовательно, ОДЗ для всего неравенства: $x \ge 0$.

2. Сделаем замену переменной.
Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$.
Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Так как $x \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное неравенство, получим квадратное неравенство: $t^2 - 6t - 2 > 0$.

3. Решим квадратное неравенство.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 6t - 2 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44$.
$t_1 = \frac{6 - \sqrt{44}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{11}}{2} = 3 - \sqrt{11}$.
$t_2 = \frac{6 + \sqrt{44}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{11}}{2} = 3 + \sqrt{11}$.
Парабола $y = t^2 - 6t - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 6t - 2 > 0$ выполняется при значениях $t$ вне интервала между корнями, то есть $t < 3 - \sqrt{11}$ или $t > 3 + \sqrt{11}$.

4. Учтем ограничение на переменную $t$.
Мы знаем, что $t \ge 0$.
Рассмотрим первое решение: $t < 3 - \sqrt{11}$. Так как $3 = \sqrt{9}$, то $3 - \sqrt{11} < 0$. Система $\begin{cases} t < 3 - \sqrt{11} \\ t \ge 0 \end{cases}$ не имеет решений.
Рассмотрим второе решение: $t > 3 + \sqrt{11}$. Это условие совместимо с $t \ge 0$, так как $3 + \sqrt{11}$ — положительное число.

5. Вернемся к исходной переменной $x$.
Мы получили, что $t > 3 + \sqrt{11}$.
Подставим обратно $t = \sqrt[6]{x}$:
$\sqrt[6]{x} > 3 + \sqrt{11}$.
Возведем обе части неравенства в 6-ю степень (так как обе части положительны, знак неравенства сохранится):
$x > (3 + \sqrt{11})^6$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in ((3 + \sqrt{11})^6, +\infty)$.

б) $\sqrt[5]{x} - 6\sqrt[10]{x} + 8 < 0$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение $\sqrt[5]{x}$ определено для всех действительных чисел $x$.
Выражение $\sqrt[10]{x}$ определено только для неотрицательных чисел, то есть $x \ge 0$.
Следовательно, ОДЗ для всего неравенства: $x \ge 0$.

2. Сделаем замену переменной.
Заметим, что $\sqrt[5]{x} = (\sqrt[10]{x})^2$.
Пусть $y = \sqrt[10]{x}$. Так как $x \ge 0$, то и $y \ge 0$.
Подставив $y$ в исходное неравенство, получим квадратное неравенство: $y^2 - 6y + 8 < 0$.

3. Решим квадратное неравенство.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $y^2 - 6y + 8 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 4$.
Парабола $z = y^2 - 6y + 8$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $y^2 - 6y + 8 < 0$ выполняется при значениях $y$ между корнями:
$2 < y < 4$.

4. Учтем ограничение на переменную $y$.
Мы знаем, что $y \ge 0$. Полученный интервал $2 < y < 4$ полностью удовлетворяет этому условию.

5. Вернемся к исходной переменной $x$.
Мы получили двойное неравенство $2 < y < 4$.
Подставим обратно $y = \sqrt[10]{x}$:
$2 < \sqrt[10]{x} < 4$.
Возведем все части неравенства в 10-ю степень (так как все части положительны, знаки неравенства сохранятся):
$2^{10} < x < 4^{10}$.
Вычислим значения: $2^{10} = 1024$.
$4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1048576$.
Таким образом, $1024 < x < 1048576$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in (1024, 1048576)$.