Номер 57.16, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.16, страница 225.

Решите неравенство методом введения новой переменной:

57.16 a) $3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 \ge 0;$

б) $2 \cdot 5^{2x} - 5^x - 1 \le 0.$

a) Дано неравенство $3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 \ge 0$.

Это показательное неравенство. Мы можем заметить, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Это позволяет нам решить неравенство методом введения новой переменной.

Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то на новую переменную накладывается ограничение: $t > 0$.

Подставим $t$ в исходное неравенство и получим квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 2t - 3 \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 2t - 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Графиком функции $y=t^2 - 2t - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, она принимает неотрицательные значения, когда переменная $t$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$: $t \le -1$ или $t \ge 3$.

Теперь учтем ограничение $t > 0$. Из двух полученных промежутков этому условию удовлетворяет только $t \ge 3$.

Выполним обратную замену, подставив $3^x$ вместо $t$:

$3^x \ge 3$

Представим правую часть как степень с основанием 3: $3^x \ge 3^1$. Поскольку основание степени $3$ больше 1, функция $y=3^x$ является возрастающей. Это означает, что мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:

$x \ge 1$

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

б) Дано неравенство $2 \cdot 5^{2x} - 5^x - 1 \le 0$.

Аналогично предыдущему пункту, заметим, что $5^{2x} = (5^x)^2$, и введем новую переменную.

Пусть $t = 5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого действительного $x$, то для новой переменной $t$ имеем ограничение $t > 0$.

Заменим $5^x$ на $t$ в исходном неравенстве, чтобы получить квадратное неравенство:

$2t^2 - t - 1 \le 0$

Найдем корни уравнения $2t^2 - t - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -0.5$ и $t_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Графиком функции $y=2t^2 - t - 1$ является парабола с ветвями вверх, значит, она принимает неположительные значения на отрезке между корнями. Решением неравенства является промежуток $-0.5 \le t \le 1$.

Совместим полученное решение с ограничением $t > 0$. Система неравенств $\begin{cases} -0.5 \le t \le 1 \\ t > 0 \end{cases}$ имеет решение $0 < t \le 1$.

Теперь выполним обратную замену:

$0 < 5^x \le 1$

Неравенство $5^x > 0$ верно для всех $x$. Остается решить неравенство $5^x \le 1$.

Представим 1 как степень с основанием 5: $1 = 5^0$. Получаем $5^x \le 5^0$.

Так как основание степени $5$ больше 1, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$x \le 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.