Номер 59.12, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.12, страница 231.

59.12 a) $\begin{cases} 2 \sin (x+y) - 3 \cos (x-y) = 5, \\ 7 \cos (x-y) + 5 \sin (x+y) = -2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^4 - y^4 = 15, \\ x^4 + y^4 = 17. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2 \sin(x + y) - 3 \cos(x - y) = 5, \\ 7 \cos(x - y) + 5 \sin(x + y) = -2. \end{cases} $$ Для решения введем замену переменных. Пусть $u = \sin(x + y)$ и $v = \cos(x - y)$. С учетом того, что $|\sin(\alpha)| \le 1$ и $|\cos(\beta)| \le 1$, имеем $|u| \le 1$ и $|v| \le 1$. Перепишем систему с новыми переменными: $$ \begin{cases} 2u - 3v = 5, \\ 5u + 7v = -2. \end{cases} $$ Это система линейных уравнений относительно $u$ и $v$. Решим ее методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $v$ стали противоположными: $$ \begin{cases} 14u - 21v = 35, \\ 15u + 21v = -6. \end{cases} $$ Теперь сложим два уравнения: $$(14u - 21v) + (15u + 21v) = 35 - 6$$ $$29u = 29$$ $$u = 1$$ Подставим найденное значение $u=1$ в первое уравнение системы $2u - 3v = 5$: $$2(1) - 3v = 5$$ $$2 - 3v = 5$$ $$-3v = 3$$ $$v = -1$$ Найденные значения $u=1$ и $v=-1$ удовлетворяют условиям $|u| \le 1$ и $|v| \le 1$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $$\sin(x + y) = 1$$ $$\cos(x - y) = -1$$ Из этих простейших тригонометрических уравнений получаем: $$x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x - y = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Мы получили новую систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \\ x - y = \pi + 2\pi k. \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$: $$2x = \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) + (\pi + 2\pi k)$$ $$2x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi(n + k)$$ $$x = \frac{3\pi}{4} + \pi(n + k)$$ Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$: $$2y = \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) - (\pi + 2\pi k)$$ $$2y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(n - k)$$ $$y = -\frac{\pi}{4} + \pi(n - k)$$

Ответ: $\left(\frac{3\pi}{4} + \pi(n+k), -\frac{\pi}{4} + \pi(n-k)\right)$, где $n \in \mathbb{Z}, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^4 - y^4 = 15, \\ x^4 + y^4 = 17. \end{cases} $$ Введем замену переменных. Пусть $a = x^4$ и $b = y^4$. Так как $x^4$ и $y^4$ являются четными степенями, то их значения неотрицательны, то есть $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} a - b = 15, \\ a + b = 17. \end{cases} $$ Это простая система линейных уравнений. Сложим два уравнения: $$(a - b) + (a + b) = 15 + 17$$ $$2a = 32$$ $$a = 16$$ Подставим найденное значение $a=16$ во второе уравнение $a + b = 17$: $$16 + b = 17$$ $$b = 1$$ Значения $a=16$ и $b=1$ удовлетворяют условиям $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Теперь вернемся к исходным переменным: $$x^4 = a = 16$$ $$y^4 = b = 1$$ Решим каждое из этих уравнений. Из уравнения $x^4 = 16$ следует, что $x^2 = \sqrt{16} = 4$ (поскольку $x^2$ должно быть неотрицательным). Из $x^2=4$ получаем $x = \pm 2$. Из уравнения $y^4 = 1$ следует, что $y^2 = \sqrt{1} = 1$. Из $y^2=1$ получаем $y = \pm 1$. Таким образом, мы имеем два возможных значения для $x$ и два для $y$. Комбинируя их, получаем четыре пары решений: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.