Номер 59.16, страница 231, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.16, страница 231.

59.16 a)

$\begin{cases} \sqrt{x - y} + \sqrt{x + 3y} = 4, \\ 2x - y = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 6x + 2y = 10, \\ \sqrt{2x + y} + \sqrt{6x - 3y} = 2. \end{cases}$

а) Рассматриваем систему уравнений:

$\begin{cases}\sqrt{x - y} + \sqrt{x + 3y} = 4 \\2x - y = 4\end{cases}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных, исходя из того, что выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$x - y \ge 0$

$x + 3y \ge 0$

Из второго уравнения системы выразим y через x:

$y = 2x - 4$

Подставим это выражение в первое уравнение и в условия ОДЗ.

Проверка ОДЗ:

1) $x - (2x - 4) \ge 0 \implies -x + 4 \ge 0 \implies x \le 4$.

2) $x + 3(2x - 4) \ge 0 \implies x + 6x - 12 \ge 0 \implies 7x \ge 12 \implies x \ge \frac{12}{7}$.

Таким образом, ОДЗ для x: $\frac{12}{7} \le x \le 4$.

Подставим $y = 2x - 4$ в первое уравнение:

$\sqrt{x - (2x - 4)} + \sqrt{x + 3(2x - 4)} = 4$

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{7x - 12} = 4$

Для решения этого иррационального уравнения введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{4 - x}$ и $b = \sqrt{7x - 12}$, где $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда уравнение примет вид $a + b = 4$.

Возведем выражения для a и b в квадрат: $a^2 = 4 - x$ и $b^2 = 7x - 12$.

Из первого равенства выразим x: $x = 4 - a^2$. Подставим во второе:

$b^2 = 7(4 - a^2) - 12 = 28 - 7a^2 - 12 = 16 - 7a^2$.

Получили систему для a и b:

$\begin{cases}a + b = 4 \\7a^2 + b^2 = 16\end{cases}$

Из первого уравнения выразим b: $b = 4 - a$. Подставим во второе:

$7a^2 + (4 - a)^2 = 16$

$7a^2 + 16 - 8a + a^2 = 16$

$8a^2 - 8a = 0$

$8a(a - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для a: $a_1 = 0$ и $a_2 = 1$. Оба значения неотрицательны, поэтому подходят.

Рассмотрим оба случая:

1) Если $a = 0$, то $\sqrt{4 - x} = 0$, откуда $x = 4$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Найдем y: $y = 2(4) - 4 = 4$. Получили решение $(4, 4)$.

2) Если $a = 1$, то $\sqrt{4 - x} = 1$, откуда $4 - x = 1$, то есть $x = 3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Найдем y: $y = 2(3) - 4 = 2$. Получили решение $(3, 2)$.

Проверим оба решения, подставив их в исходную систему. Оба решения удовлетворяют уравнениям системы.

Ответ: $(3; 2), (4; 4)$.

б) Рассматриваем систему уравнений:

$\begin{cases}6x + 2y = 10 \\\sqrt{2x + y} + \sqrt{6x - 3y} = 2\end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе части на 2:

$3x + y = 5$

Выразим y через x:

$y = 5 - 3x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$2x + y \ge 0$

$6x - 3y \ge 0$

Подставим $y = 5 - 3x$ в условия ОДЗ:

1) $2x + (5 - 3x) \ge 0 \implies 5 - x \ge 0 \implies x \le 5$.

2) $6x - 3(5 - 3x) \ge 0 \implies 6x - 15 + 9x \ge 0 \implies 15x - 15 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Таким образом, ОДЗ для x: $1 \le x \le 5$.

Подставим $y = 5 - 3x$ во второе уравнение системы:

$\sqrt{2x + (5 - 3x)} + \sqrt{6x - 3(5 - 3x)} = 2$

$\sqrt{5 - x} + \sqrt{15x - 15} = 2$

Для решения введем замену. Пусть $a = \sqrt{5 - x}$ и $b = \sqrt{15x - 15}$, где $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Уравнение примет вид $a + b = 2$.

Возведем выражения для a и b в квадрат: $a^2 = 5 - x$ и $b^2 = 15x - 15$.

Из первого равенства $x = 5 - a^2$. Подставим во второе:

$b^2 = 15(5 - a^2) - 15 = 75 - 15a^2 - 15 = 60 - 15a^2$.

Получили систему для a и b:

$\begin{cases}a + b = 2 \\15a^2 + b^2 = 60\end{cases}$

Из первого уравнения $b = 2 - a$. Подставим во второе:

$15a^2 + (2 - a)^2 = 60$

$15a^2 + 4 - 4a + a^2 = 60$

$16a^2 - 4a - 56 = 0$

Разделим уравнение на 4:

$4a^2 - a - 14 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225 = 15^2$.

$a = \frac{1 \pm 15}{8}$

$a_1 = \frac{1 + 15}{8} = 2$

$a_2 = \frac{1 - 15}{8} = -\frac{7}{4}$

Так как по определению $a = \sqrt{5 - x} \ge 0$, то корень $a_2 = -7/4$ является посторонним.

Остается единственное значение $a = 2$.

Вернемся к замене: $\sqrt{5 - x} = 2$.

Возведем в квадрат: $5 - x = 4$, откуда $x = 1$.

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \le 1 \le 5$).

Найдем соответствующее значение y:

$y = 5 - 3(1) = 2$.

Получили единственное решение $(1, 2)$. Проверка показывает, что оно удовлетворяет исходной системе.

Ответ: $(1; 2)$.