Номер 59.23, страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§59. Системы уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 59.23, страница 232.

59.23 a) $\begin{cases} x + y = -1, \\ x - z = 2, \\ xy + xz + yz = -1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + 2z = 0, \\ x + 2y + z = 1, \\ x^2 + y^2 + z^2 = 5. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -1, \\ x - z = 2, \\ xy + xz + yz = -1;\end{cases} $

Из первого и второго уравнений выразим $y$ и $z$ через $x$.

Из $x + y = -1$ получаем $y = -1 - x$.

Из $x - z = 2$ получаем $z = x - 2$.

Подставим полученные выражения для $y$ и $z$ в третье уравнение системы:

$x(-1 - x) + x(x - 2) + (-1 - x)(x - 2) = -1$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-x - x^2 + x^2 - 2x + (-x + 2 - x^2 + 2x) = -1$

$-3x + (x + 2 - x^2) = -1$

$-2x + 2 - x^2 = -1$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$-x^2 - 2x + 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его можно разложить на множители, используя корни, которые в сумме дают -2, а в произведении -3. Это числа -3 и 1.

$(x + 3)(x - 1) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ и $z$ для каждого из найденных $x$.

1. Если $x_1 = 1$:

$y_1 = -1 - x_1 = -1 - 1 = -2$

$z_1 = x_1 - 2 = 1 - 2 = -1$

Первое решение: $(1, -2, -1)$.

2. Если $x_2 = -3$:

$y_2 = -1 - x_2 = -1 - (-3) = 2$

$z_2 = x_2 - 2 = -3 - 2 = -5$

Второе решение: $(-3, 2, -5)$.

Ответ: $(1, -2, -1), (-3, 2, -5)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + 2z = 0, \\ x + 2y + z = 1, \\ x^2 + y^2 + z^2 = 5.\end{cases} $

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти связь между $y$ и $z$:

$(x + 2y + z) - (x + y + 2z) = 1 - 0$

$y - z = 1$, откуда получаем $y = z + 1$.

Подставим $y = z + 1$ в первое уравнение, чтобы выразить $x$ через $z$:

$x + (z + 1) + 2z = 0$

$x + 3z + 1 = 0$, откуда $x = -3z - 1$.

Теперь подставим выражения для $x$ и $y$ в третье уравнение системы:

$(-3z - 1)^2 + (z + 1)^2 + z^2 = 5$

Раскроем скобки:

$(9z^2 + 6z + 1) + (z^2 + 2z + 1) + z^2 = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$11z^2 + 8z + 2 = 5$

$11z^2 + 8z - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $z$ с помощью формулы для корней. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-3) = 64 + 132 = 196 = 14^2$.

Теперь найдем корни:

$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 14}{2 \cdot 11}$

$z_1 = \frac{-8 + 14}{22} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$

$z_2 = \frac{-8 - 14}{22} = \frac{-22}{22} = -1$

Найдем соответствующие значения $x$ и $y$ для каждого $z$.

1. Если $z_1 = \frac{3}{11}$:

$y_1 = z_1 + 1 = \frac{3}{11} + 1 = \frac{14}{11}$

$x_1 = -3z_1 - 1 = -3\left(\frac{3}{11}\right) - 1 = -\frac{9}{11} - \frac{11}{11} = -\frac{20}{11}$

Первое решение: $(-\frac{20}{11}, \frac{14}{11}, \frac{3}{11})$.

2. Если $z_2 = -1$:

$y_2 = z_2 + 1 = -1 + 1 = 0$

$x_2 = -3z_2 - 1 = -3(-1) - 1 = 3 - 1 = 2$

Второе решение: $(2, 0, -1)$.

Ответ: $(-\frac{20}{11}, \frac{14}{11}, \frac{3}{11}), (2, 0, -1)$.