Номер 60.3, страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.3, страница 233.

60.3 Решите уравнение (относительно x):

а) $a^2x - 4x + 2 = a$;

б) $\frac{x}{a} + x - 1 = a$.

а) $a^2x - 4x + 2 = a$

Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$. Для его решения сгруппируем члены, содержащие $x$, в левой части, а остальные члены перенесем в правую часть.

$a^2x - 4x = a - 2$

Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения:

$x(a^2 - 4) = a - 2$

Разложим на множители выражение в скобках, используя формулу разности квадратов:

$x(a - 2)(a + 2) = a - 2$

Дальнейшее решение зависит от значения параметра $a$, так как коэффициент при $x$ может обращаться в ноль.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Коэффициент при $x$ не равен нулю: $a^2 - 4 \neq 0$, то есть $a \neq 2$ и $a \neq -2$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a^2 - 4)$:

$x = \frac{a - 2}{a^2 - 4} = \frac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)}$

Поскольку $a \neq 2$, то $(a - 2) \neq 0$, и мы можем сократить дробь:

$x = \frac{1}{a + 2}$

2. Коэффициент при $x$ равен нулю: $a = 2$.
Подставим это значение в уравнение $x(a - 2)(a + 2) = a - 2$:

$x(2 - 2)(2 + 2) = 2 - 2$

$x \cdot 0 \cdot 4 = 0$

$0 = 0$

Получено верное числовое равенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, при $a = 2$ решением уравнения является любое действительное число.

3. Коэффициент при $x$ равен нулю: $a = -2$.
Подставим это значение в уравнение $x(a - 2)(a + 2) = a - 2$:

$x(-2 - 2)(-2 + 2) = -2 - 2$

$x \cdot (-4) \cdot 0 = -4$

$0 = -4$

Получено неверное числовое равенство. Следовательно, при $a = -2$ уравнение не имеет решений.

Ответ: если $a = 2$, то $x \in \mathbb{R}$; если $a = -2$, то решений нет; если $a \neq 2$ и $a \neq -2$, то $x = \frac{1}{a + 2}$.

б) $\frac{x}{a} + x - 1 = a$

Это также линейное уравнение относительно $x$. Заметим, что в уравнении присутствует параметр $a$ в знаменателе, поэтому $a \neq 0$.

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а остальные в правую:

$\frac{x}{a} + x = a + 1$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(\frac{1}{a} + 1) = a + 1$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$x(\frac{1 + a}{a}) = a + 1$

Решение этого уравнения зависит от значения параметра $a$.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Если $a = 0$.
В этом случае исходное уравнение не имеет смысла, так как происходит деление на ноль. Следовательно, при $a = 0$ решений нет.

2. Коэффициент при $x$ не равен нулю: $\frac{1 + a}{a} \neq 0$, что эквивалентно $1 + a \neq 0$ (так как мы уже учли, что $a \neq 0$). То есть $a \neq -1$ и $a \neq 0$.
В этом случае можно выразить $x$:

$x = \frac{a + 1}{\frac{1 + a}{a}} = (a + 1) \cdot \frac{a}{a + 1}$

Поскольку $a \neq -1$, то $(a + 1) \neq 0$, и мы можем сократить дробь:

$x = a$

3. Коэффициент при $x$ равен нулю: $\frac{1 + a}{a} = 0$, что означает $1 + a = 0$, то есть $a = -1$.
Подставим это значение в уравнение $x(\frac{1 + a}{a}) = a + 1$:

$x(\frac{1 - 1}{-1}) = -1 + 1$

$x \cdot \frac{0}{-1} = 0$

$x \cdot 0 = 0$

$0 = 0$

Получено верное числовое равенство. Следовательно, при $a = -1$ решением уравнения является любое действительное число.

Ответ: если $a = -1$, то $x \in \mathbb{R}$; если $a = 0$, то решений нет; если $a \neq -1$ и $a \neq 0$, то $x = a$.