Номер 60.8, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.8, страница 234.

60.8 При каких значениях $b$ графики функций имеют общие точки:

а) $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = -2x + b$;

б) $y = x^2 + 6x + 7$ и $y = 2x + b$?

а) Графики функций имеют общие точки в том и только в том случае, когда система уравнений, составленная из этих функций, имеет решение. Это эквивалентно тому, что уравнение, полученное приравниванием правых частей функций, имеет хотя бы один действительный корень.

Приравняем правые части функций $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = -2x + b$:

$x^2 - 4x + 2 = -2x + b$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 4x + 2x + 2 - b = 0$

$x^2 - 2x + (2 - b) = 0$

Квадратное уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ больше или равен нулю ($D \ge 0$).

Вычислим дискриминант для этого уравнения, где коэффициенты $a=1$, $b'=-2$, $c'=2-b$:

$D = (b')^2 - 4a'c' = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - b) = 4 - 8 + 4b = 4b - 4$

Теперь решим неравенство $D \ge 0$ относительно $b$:

$4b - 4 \ge 0$

$4b \ge 4$

$b \ge 1$

Таким образом, графики функций имеют общие точки при $b \ge 1$.

Ответ: $b \ge 1$.

б) Поступим аналогично для функций $y = x^2 + 6x + 7$ и $y = 2x + b$.

Приравняем их правые части:

$x^2 + 6x + 7 = 2x + b$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 6x - 2x + 7 - b = 0$

$x^2 + 4x + (7 - b) = 0$

Это квадратное уравнение имеет действительные корни при $D \ge 0$.

Вычислим дискриминант, где коэффициенты $a=1$, $b'=4$, $c'=7-b$:

$D = (b')^2 - 4a'c' = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7 - b) = 16 - 28 + 4b = 4b - 12$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$4b - 12 \ge 0$

$4b \ge 12$

$b \ge 3$

Следовательно, графики данных функций имеют общие точки при $b \ge 3$.

Ответ: $b \ge 3$.