Номер 60.13, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.13, страница 234.

60.13 Найдите наименьшее целочисленное значение параметра $b$, при котором уравнение имеет два корня:

а) $x^2 - 2bx + b^2 - 4b + 3 = 0;$

б) $x^2 + 2(b - 2)x + b^2 - 10b + 12 = 0.$

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

а) $x^2 - 2bx + b^2 - 4b + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$ вида $ax^2 + kx + c = 0$, где коэффициенты равны:

$a = 1$, $k = -2b$, $c = b^2 - 4b + 3$.

Найдем дискриминант $D = k^2 - 4ac$:

$D = (-2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b^2 - 4b + 3)$

$D = 4b^2 - 4(b^2 - 4b + 3)$

$D = 4b^2 - 4b^2 + 16b - 12$

$D = 16b - 12$

Применим условие $D > 0$:

$16b - 12 > 0$

$16b > 12$

$b > \frac{12}{16}$

$b > \frac{3}{4}$

Требуется найти наименьшее целочисленное значение $b$, которое удовлетворяет этому неравенству. Наименьшее целое число, большее $\frac{3}{4}$ (или 0.75), — это 1.

Ответ: 1.

б) $x^2 + 2(b - 2)x + b^2 - 10b + 12 = 0$

Это квадратное уравнение, где коэффициенты равны:

$a = 1$, $k = 2(b - 2)$, $c = b^2 - 10b + 12$.

Поскольку коэффициент $k$ при $x$ является четным, для удобства вычислений можно использовать формулу для четверти дискриминанта $D_1 = (\frac{k}{2})^2 - ac$. Условие $D_1 > 0$ эквивалентно условию $D > 0$.

$D_1 = (b-2)^2 - 1 \cdot (b^2 - 10b + 12)$

$D_1 = (b^2 - 4b + 4) - (b^2 - 10b + 12)$

$D_1 = b^2 - 4b + 4 - b^2 + 10b - 12$

$D_1 = 6b - 8$

Применим условие $D_1 > 0$:

$6b - 8 > 0$

$6b > 8$

$b > \frac{8}{6}$

$b > \frac{4}{3}$

Требуется найти наименьшее целочисленное значение $b$. Так как $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$, наименьшее целое число, которое больше этого значения, — это 2.

Ответ: 2.