Номер 60.10, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.10, страница 234.

60.10 При каких значениях $a$ неравенство $ax^2 + 4x - 3 + a > 0$:

а) выполняется при любых $x$;

б) не имеет решений?

Рассмотрим неравенство $ax^2 + 4x + a - 3 > 0$.

Это квадратичное неравенство относительно $x$. Обозначим левую часть как функцию $f(x) = ax^2 + 4x + a - 3$.

Сначала рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a=0$.

Если $a=0$, неравенство становится линейным:

$0 \cdot x^2 + 4x - 3 + 0 > 0$

$4x - 3 > 0$

$4x > 3$

$x > \frac{3}{4}$

Это неравенство выполняется не для любых $x$, а только для $x > \frac{3}{4}$. Также оно имеет решения. Следовательно, значение $a=0$ не является решением ни для пункта а), ни для пункта б).

Теперь рассмотрим случай, когда $a \neq 0$. В этом случае $f(x)$ является квадратичной функцией, а ее график — парабола.

а) выполняется при любых x;

Для того чтобы неравенство $ax^2 + 4x + a - 3 > 0$ выполнялось для любого значения $x$, график функции $f(x)$ должен полностью лежать выше оси абсцисс. Это возможно только при выполнении двух условий:

1. Старший коэффициент должен быть положительным (ветви параболы направлены вверх): $a > 0$.
2. Квадратный трехчлен не должен иметь действительных корней (парабола не пересекает ось Ox), что означает, что его дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ax^2 + 4x + (a - 3)$:

$D = 4^2 - 4 \cdot a \cdot (a - 3) = 16 - 4a^2 + 12a = -4a^2 + 12a + 16$.

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$-4a^2 + 12a + 16 < 0$

Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства на противоположный:

$a^2 - 3a - 4 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 3a - 4 = 0$ по теореме Виета или через дискриминант:

$a_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9+16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$

$a_1 = \frac{3-5}{2} = -1$

$a_2 = \frac{3+5}{2} = 4$

Парабола $y = a^2 - 3a - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $a^2 - 3a - 4 > 0$ выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями:

$a \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.

Теперь объединим это решение с первым условием $a > 0$. Нам нужна система условий:

$\begin{cases} a > 0 \\ a \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является интервал $a \in (4, \infty)$.

Ответ: $a \in (4, \infty)$.

б) не имеет решений?

Неравенство $ax^2 + 4x + a - 3 > 0$ не имеет решений, если и только если для всех $x$ выполняется противоположное неравенство: $ax^2 + 4x + a - 3 \le 0$.

Для того чтобы это условие выполнялось для любого значения $x$, график функции $f(x)$ должен полностью лежать ниже оси абсцисс или касаться ее. Это возможно только при выполнении двух условий:

1. Старший коэффициент должен быть отрицательным (ветви параболы направлены вниз): $a < 0$.
2. Квадратный трехчлен должен иметь не более одного действительного корня (парабола не пересекает ось Ox в двух точках), что означает, что его дискриминант должен быть неположительным: $D \le 0$.

Мы уже нашли выражение для дискриминанта: $D = -4a^2 + 12a + 16$.

Решим неравенство $D \le 0$:

$-4a^2 + 12a + 16 \le 0$

Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства:

$a^2 - 3a - 4 \ge 0$

Корни уравнения $a^2 - 3a - 4 = 0$ равны -1 и 4. Парабола $y = a^2 - 3a - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $a^2 - 3a - 4 \ge 0$ выполняется при значениях $a$ на границах и вне интервала между корнями:

$a \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty)$.

Теперь объединим это решение с первым условием $a < 0$. Нам нужна система условий:

$\begin{cases} a < 0 \\ a \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является промежуток $a \in (-\infty, -1]$.

Ответ: $a \in (-\infty, -1]$.