Номер 60.6, страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.6, страница 234.

60.6 При каких значениях $a$ уравнение $ax^2 + 4x - a + 5 = 0$:

а) имеет два различных корня;

б) имеет ровно один корень;

в) не имеет действительных корней?

Рассмотрим данное уравнение: $ax^2 + 4x - a + 5 = 0$.

Это уравнение является уравнением второй степени относительно переменной $x$. Однако, если коэффициент при $x^2$ равен нулю, оно становится линейным. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит при $a = 0$. Подставим это значение в уравнение:

$0 \cdot x^2 + 4x - 0 + 5 = 0$

$4x + 5 = 0$

$4x = -5$

$x = -5/4$

В этом случае уравнение имеет ровно один корень. Это значение $a=0$ будет частью ответа для пункта б).

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Это происходит при $a \neq 0$. В этом случае уравнение является квадратным. Количество его действительных корней зависит от знака дискриминанта $D$.

Коэффициенты квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ в нашем случае:

$A = a$, $B = 4$, $C = -a + 5$.

Вычислим дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 4^2 - 4 \cdot a \cdot (-a + 5) = 16 - 4a(-a+5) = 16 + 4a^2 - 20a$.

Приведем дискриминант к стандартному виду: $D = 4a^2 - 20a + 16$.

Теперь исследуем знак дискриминанта в зависимости от параметра $a$. Для этого найдем корни уравнения $4a^2 - 20a + 16 = 0$.

Разделим обе части на 4: $a^2 - 5a + 4 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $a_1=1$ и $a_2=4$.

Таким образом, выражение для дискриминанта можно записать как $D = 4(a-1)(a-4)$.

Графиком функции $y=4(a-1)(a-4)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, и она пересекает ось абсцисс в точках $a=1$ и $a=4$. Следовательно:

• Дискриминант положителен ($D > 0$), если $a$ находится вне интервала между корнями, то есть при $a \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.

• Дискриминант равен нулю ($D = 0$), если $a=1$ или $a=4$.

• Дискриминант отрицателен ($D < 0$), если $a$ находится между корнями, то есть при $a \in (1, 4)$.

Теперь мы можем ответить на каждый из вопросов задачи, объединив результаты для $a=0$ и $a \neq 0$.

а) имеет два различных корня;

Уравнение имеет два различных корня, если оно является квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант положителен ($D > 0$).

Условие $D > 0$ выполняется при $a \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.

Из этого множества мы должны исключить значение $a=0$, так как при $a=0$ уравнение не является квадратным.

В результате получаем: $a \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (4, \infty)$.

б) имеет ровно один корень;

Уравнение имеет ровно один корень в двух случаях:

1. Уравнение линейное, что соответствует случаю $a = 0$. Как мы выяснили ранее, при $a=0$ есть один корень $x = -5/4$.

2. Уравнение квадратное ($a \neq 0$), но имеет один корень. Это происходит, когда дискриминант равен нулю ($D = 0$).

Условие $D = 0$ выполняется при $a=1$ и $a=4$. Оба эти значения удовлетворяют условию $a \neq 0$.

Объединяя эти случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $a=0$, $a=1$ или $a=4$.

Ответ: $a=0; a=1; a=4$.

в) не имеет действительных корней?

Уравнение не имеет действительных корней, если оно является квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант отрицателен ($D < 0$).

Условие $D < 0$ выполняется при $a \in (1, 4)$.

Все значения $a$ из этого интервала не равны нулю, поэтому условие $a \neq 0$ выполняется автоматически.

Следовательно, уравнение не имеет действительных корней при $a \in (1, 4)$.

Ответ: $a \in (1, 4)$.