Номер 60.1, страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. §60. Задачи с параметрами - номер 60.1, страница 233.

Условие.

60.1 При каких значениях параметра $m$ уравнение $mx - x + 1 = m^2$:

а) имеет ровно один корень;

б) не имеет корней;

в) имеет более одного корня?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Данное уравнение является линейным относительно переменной $x$. Преобразуем его, чтобы провести анализ количества корней в зависимости от параметра $m$.

Исходное уравнение:

$mx - x + 1 = m^2$

Перенесем слагаемые, не содержащие $x$, в правую часть, а содержащие $x$ — оставим в левой:

$mx - x = m^2 - 1$

Вынесем $x$ за скобки в левой части:

$x(m - 1) = m^2 - 1$

Мы получили уравнение вида $Ax = B$, где $A = m - 1$ и $B = m^2 - 1$. Количество корней такого уравнения зависит от значений $A$ и $B$.

а) имеет ровно один корень

Линейное уравнение имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда коэффициент при переменной $x$ не равен нулю.

В нашем случае это условие выглядит так: $A \neq 0$.

$m - 1 \neq 0$

$m \neq 1$

Если $m \neq 1$, то мы можем разделить обе части уравнения на $(m-1)$ и найти единственный корень:

$x = \frac{m^2 - 1}{m - 1} = \frac{(m - 1)(m + 1)}{m - 1} = m + 1$

Таким образом, при $m \neq 1$ уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: при $m \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) не имеет корней

Линейное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а правая часть не равна нулю.

В нашем случае это система условий: $A = 0$ и $B \neq 0$.

1. Условие $A = 0$:

$m - 1 = 0 \implies m = 1$

2. Проверим, выполняется ли условие $B \neq 0$ при $m = 1$:

$B = m^2 - 1 = 1^2 - 1 = 0$

При $m=1$ правая часть $B$ также равна нулю. Следовательно, условие $B \neq 0$ не выполняется. Это означает, что не существует таких значений параметра $m$, при которых уравнение не имеет корней.

Ответ: таких значений $m$ не существует.

в) имеет более одного корня

Линейное уравнение имеет более одного корня (а именно, бесконечное множество корней) тогда и только тогда, когда и коэффициент при $x$, и правая часть равны нулю.

В нашем случае это система условий: $A = 0$ и $B = 0$.

$m - 1 = 0 \implies m = 1$

$m^2 - 1 = 0 \implies m^2 = 1 \implies m = 1$ или $m = -1$

Оба условия должны выполняться одновременно, что возможно только при $m=1$.

При $m = 1$ уравнение принимает вид:

$x(1 - 1) = 1^2 - 1$

$x \cdot 0 = 0$

$0 = 0$

Это равенство верно для любого действительного числа $x$, следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ: при $m = 1$.