Номер 60.4, страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§60. Задачи с параметрами. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 60.4, страница 233.

60.4 Решите неравенство (относительно x):

а) $mx - x + 1 \ge m^2$;

б) $b^2x - x + 1 > b.$

а)

Преобразуем исходное неравенство, сгруппировав члены, содержащие переменную $x$:
$mx - x + 1 \ge m^2$
$mx - x \ge m^2 - 1$
$x(m-1) \ge m^2 - 1$
Применяя формулу разности квадратов, получаем:
$x(m-1) \ge (m-1)(m+1)$

Для решения этого неравенства относительно $x$, необходимо разделить обе части на $(m-1)$. Результат зависит от знака этого выражения. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если $m - 1 > 0$, то есть $m > 1$. В этом случае при делении на положительное число знак неравенства сохраняется:
$x \ge \frac{(m-1)(m+1)}{m-1}$
$x \ge m+1$

2. Если $m - 1 < 0$, то есть $m < 1$. В этом случае при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{(m-1)(m+1)}{m-1}$
$x \le m+1$

3. Если $m - 1 = 0$, то есть $m = 1$. В этом случае исходное неравенство принимает вид:
$x \cdot 0 \ge 1^2 - 1$
$0 \ge 0$
Это неравенство является верным при любом значении $x$.

Ответ: если $m > 1$, то $x \ge m+1$; если $m < 1$, то $x \le m+1$; если $m = 1$, то $x$ — любое число.

б)

Преобразуем исходное неравенство, сгруппировав члены, содержащие переменную $x$:
$b^2x - x + 1 > b$
$b^2x - x > b - 1$
$x(b^2 - 1) > b - 1$
Применяя формулу разности квадратов, получаем:
$x(b-1)(b+1) > b - 1$

Для решения этого неравенства необходимо разделить обе части на $(b^2-1)$. Результат зависит от знака этого выражения. Рассмотрим следующие случаи.

1. Если $b^2 - 1 > 0$, то есть $b < -1$ или $b > 1$. В этом случае знак неравенства при делении сохраняется. Так как при $b > 1$ или $b < -1$ выражение $b-1$ не равно нулю, мы можем сократить дробь:
$x > \frac{b-1}{b^2-1}$
$x > \frac{b-1}{(b-1)(b+1)}$
$x > \frac{1}{b+1}$

2. Если $b^2 - 1 < 0$, то есть $-1 < b < 1$. В этом случае знак неравенства меняется на противоположный. Так как при $-1 < b < 1$ выражение $b-1$ не равно нулю, мы можем сократить дробь:
$x < \frac{b-1}{b^2-1}$
$x < \frac{b-1}{(b-1)(b+1)}$
$x < \frac{1}{b+1}$

3. Если $b^2 - 1 = 0$, то есть $b=1$ или $b=-1$. Эти случаи нужно рассмотреть отдельно.
- При $b = 1$ неравенство принимает вид: $x \cdot (1^2 - 1) > 1 - 1$, что равносильно $0 > 0$. Это неверное числовое неравенство, следовательно, решений нет.
- При $b = -1$ неравенство принимает вид: $x \cdot ((-1)^2 - 1) > -1 - 1$, что равносильно $0 > -2$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Ответ: если $b < -1$ или $b > 1$, то $x > \frac{1}{b+1}$; если $-1 < b < 1$, то $x < \frac{1}{b+1}$; если $b = 1$, то решений нет; если $b = -1$, то $x$ — любое число.